函數近似值與插值多項式學習單(Workcard for Approximating Function in terms of Interpolation Polynomial)

函數近似值與插值多項式學習單(Workcard for Approximating Function in terms of Interpolation Polynomial)
台北市立西松高中蘇惠玉老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

針對筆者在插值多項式的評論文中所提的幾個問題，在此嘗試設計一分學習單，藉由問題設計的引導，讓學生慢慢地理解何謂插值多項式，以及其精神所在。最後，更藉由「大衍求一術」，也就是所謂的中國剩餘定理，將數字中以餘數問題逆推被除數的方法，與拉格朗日插值多項式的假設方法作一個簡單的類比，期望藉此能幫助學生更深入理解拉格朗日插值多項式的合理性。

Card１.已知多項式，求近似值
設 $$f(x)=x^3-5x^2+6x+3$$，

1. $$f(1)=$$？ $$f(2)=$$？
2. 若 $$f(x)=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d$$，$$a,b,c,d=$$？
3. 求 $$f(1,1)$$ 的近似值

Card２.已知多項式的兩點，求近似值
設 $$f(x)=x^3-5x^2+6x+3$$，

1. 若 $$f(x)$$ 除以 $$(x-1)$$ 餘 $$5$$，除以 $$(x-2)$$ 餘 $$3$$，則 $$f(x)$$ 除以 $$(x-1)(x-2)$$ 的餘式為何？
2. 求過 $$(1,5),(2,3)$$ 的直線方程式。
3. 求 $$f(1.1)$$ 的近似值。

Card３.已知多項式的三點，求近似值

1. 求過三點 $$(1,5),(2,3),(3,3)$$ 的多項式 $$g(x)$$
2. 若一多項式 $$f(x)$$，$$f(1)=5,f(2)=3,f(3)=3$$，求 $$f(1.1)$$ 的近似值。

Card４.中國剩餘定理（大衍求一術）

1. 已知一數 $$n$$ 被 $$3$$ 除餘 $$2$$，被 $$5$$ 除餘 $$3$$，則此數 $$n$$ 為何？
   解：先找除以 $$3$$ 餘 $$1$$ 與除以 $$5$$ 餘 $$1$$ 的數：
   被 $$3$$ 除餘 $$2$$，所以取 $$2\times{10}$$；被 $$5$$ 除餘 $$3$$，所以取 $$3\times{6}$$，
   因此 $$n=2\times{10}+3\times{6}=38$$
2. 已知一數 $$n$$ 被 $$3$$ 除餘 $$2$$，被 $$5$$ 除餘 $$3$$，被 $$7$$ 除餘 $$2$$，則此數 $$n$$為何？解：先找先找除以 $$3$$ 餘 $$1$$、除以 $$5$$ 餘 $$1$$、除以 $$7$$ 餘 $$1$$ 的數：
   被 $$3$$ 除餘 $$2$$，所以取 $$2\times(5\times{7}\times{2})$$；
   被 $$5$$ 除餘 $$3$$，所以取 $$3\times(3\times{7})$$，
   被 $$7$$ 除餘 $$2$$，所以取 $$3\times(3\times{5})$$，
   因此 $$n=2\times(5\times{7}\times{2})+3\times(3\times{7})+2\times(3\times{5})=2\times{70}+3\times{21}+2\times{15}=233$$
   $$n$$ 最小為 $$223-3\times{5}\times{7}\times{2}=223-105\times{2}=23$$

Card５.已知函數三點，求近似值

1. 求過三點 $$(1,5),(2,3),(3,3)$$ 的插值多項式 $$g(x)$$
   解：$$g(x)$$的假設方法：