勘根定理

勘根定理 (Determination of roots)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

當多項式 $$f(x)$$ 的係數都是實數的時候，就稱之為「實係數多項式」。任給一 $$n$$ 個次實係數多項式 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$，若我們每代入一個 $$x$$ 值，就可得到一個數對$$(x,f(x))$$，那麼，只要有足夠多這樣的數對，將它們視作坐標平面上之點而畫在坐標平面上，就可以大致得到 $$f(x)$$ 的圖形。

事實上，實係數多項式的圖形是一條直線或一條連續的曲線（簡單地說，就是沒有斷掉的曲線），這必須透過高三的微積分課程內容才能說得明白，在此，就請還沒學過微積分的讀者先接受此一性質。

既然 $$n$$ 次實係數多項式 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 在坐標平面上的圖形是條直線或是連續的曲線，那麼，$$f(x)$$ 與 $$x$$ 軸相交的點代表什麼意義呢？

換個說法，若 $$(\alpha,0)$$ 是 $$n$$ 次實係數多項式 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 之圖形與 $$x$$ 軸的交點，那麼，$$f(\alpha)=a_n{\alpha}^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\mbox{……}+a_1\alpha+a_0$$ 意即 $$x=\alpha$$ 就是 $$n$$ 次實係數多項式方程式 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 之實根。

這麼一來，要找 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0=0$$ 之實根，就是找 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0=0$$ 的圖形與 $$x$$ 軸相交的點。好棒的一個性質！

棒在哪呢？一般說來，求一個 $$n$$ 次實係數多項式方程式的根並不是件容易的事，但借助今日的電腦繪圖軟體，畫一個 $$n$$ 次實係數多項式的圖形只是件轉眼之間就完成的易事，因此，解不出來的，可以從圖上去找！這真的太棒了！

不過，還有個問題，如何確定從圖上找到的根的真正的值？一般說來，當根是無理數的時候，圖上顯示的就只是近似值，即便是有理數，只要小數點後位數太多，電腦上顯示出來的就僅是近似值。換句話說，電腦繪圖軟體還是不能幫我們「真正」找出每一個 $$n$$ 次實係數多項式方程式的根。

雖然如此，但仍給我們一個方向─找近似值也很好！再說得更明白一點，如果有一種方法，可以讓我們不斷地逼近根的真正值，也就是說，我們可以一直增加所求的近似值的準確度，就算無法知道根的真正值，那也只是差之毫釐而已。

利用實係數多項式的圖形是一條直線或一條連續的曲線這個性質，我們可以找到這樣子的方法。藉助下圖來作說明，若我們在 $$x$$ 軸上方找到圖形上一點 $$A(a,f(a))$$，又在 $$x$$ 軸下方找到圖形上一點 $$B(b,f(b))$$，因為圖形是連續的，我們就可以確定在 $$A$$ 點與 $$B$$ 點之間，圖形與 $$x$$ 軸會至少相交一次。這就是「勘根定理」：

$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 是 $$n$$ 次實係數多項式，
$$a$$ 與 $$b$$ 是相異實數，若 $$f(a)\cdot{f(b)}<0$$
則 $$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 在 $$a$$ 與 $$b$$ 之間至少有一個實根。

一旦確定實根落在 $$a$$ 與 $$b$$ 之間後，我們就可以反覆地使用勘根定理，不斷地縮小範圍（$$a$$ 增加一點，$$b$$ 減少一點）就可以求得實根的近似值，而且要準確到小數點後第幾位都可以。

特別提醒讀者，利用勘根定理我們只能知道若 $$f(a)\cdot{f(b)}<0$$，則在 $$a$$ 與 $$b$$ 之間至少有一個實根，也就是說，可能有不止一個實根。從下圖的 $$C$$ 點與 $$D$$點，讀者應該就可以知道為什麼了。