海龍公式

海龍公式(Heron’s Formula)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

海龍公式：若 $$\Delta{ABC}$$ 的三邊長 $$\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c$$，令 $$s=\frac{a+b+c}{2}$$，

則 $$a\Delta{ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$，此稱為海龍公式。

證明：一般高中數學教科書常用代數方法證明，利用餘弦定理及兩次平方差公式，如下敘述。

$$\begin{array}{ll}a\Delta{ABC}&=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2\sin^2A}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2(1-\cos^2A)}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2-b^2c^2(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})^2}\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{[(b^2+2bc+c^2)-a^2][a^2-(b^2-2bc+c^2)]}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b)}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}\\&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\end{array}$$

在一般數學教學現場中，學生對於海龍公式證明的反應通常是認為繁瑣、難以心神領會；可是對於這個公式的方便又折服不已，只要給定三邊長就可以算出三角形面積，這是多麼美麗的公式(beautiful formula)啊！

不過值得提醒的是，學子常會將海龍公式寫成 $$a\Delta{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$，箇中道理當然是受「三角形面積等於底邊長乘於對應高的一半」的影響，所以，對於海龍公式來源的證明是有必要詳實了解。

Heron 或 Hero of Alexandria (1-75 AD) 如圖一所示，學者譯為海龍或海倫(以下我們以海龍稱之)，他不但是古希臘數學家，也是力學家和機械學家，所處年代大約是在歐幾里得之後 350 年左右，主要活躍於亞歷山卓城 (Alexandria)。在海龍的論述中，他大膽使用某些經驗性的近似公式，並注重數學的實際應用，我們可以從海龍所留下來的著作中得到許多啟發，例如：《測量術》(Metrica)、《屈光學》(Dioptra) 等等。更多有趣有關海龍的著作與生平可以參考網站： 。

而一般人所熟悉的海龍公式是出現在《測量術》書中。首先簡單的介紹一下《測量術》這部著作，全書共有三卷，包含 $$133$$ 個幾何名詞的定義，各卷內容大致如下：

《測量術》被認為是一本實用的測量手冊方面的代表作，例如：測量各種圖形的面積和體積等等。而且，海龍還講述了如何算出數值的結果，即使其中包含了『無理的』量 。

接下來，就是海龍的證明過程了，為了敘述方便，筆者將原文稍作改寫：

假設三角形 $$ABC$$，三邊長分別為 $$a=\overline{BC},b=\overline{CA},c=\overline{AB}$$，

此三角形有內切圓，切點分別為 $$D$$、$$E$$、$$F$$，圓心為 $$G$$，

且連結 $$AG$$、$$BG$$、$$CG$$、$$DG$$、$$EG$$、$$FG$$，

如圖二所示，

得 $$\overline{BC}\cdot\overline{EG}=a\Delta{BGC},~\overline{CA}\cdot\overline{FG}=a\Delta{AGC},~\overline{AB}\cdot\overline{DG}=a\Delta{AGB}$$，

所以 $$2a\Delta{ABC}$$ 為三角形周長乘以 $$\overline{EG}$$（內切圓半徑），

在 $$\overline{BC}$$ 上作 $$\overline{BH}=\overline{AD}$$，則 $$\overline{CBH}$$，線段長為三角形周長的一半，

因為 $$\overline{AD}=\overline{AF},\overline{BD}=\overline{BE},\overline{CE}=\overline{CF}$$，

因此，$$\overline{CH}\cdot\overline{EG}=a\Delta{ABC}$$。

接著，過 $$B$$ 點作垂直 $$BC$$ 的直線（$$\angle{CBL}=90^\circ$$），

過 $$G$$ 點作垂直 $$GC$$ 的直線（$$\angle{CGL}=90^\circ$$），兩線相交於 $$L$$，連接 $$LG$$ 交 $$BC$$ 於 $$K$$，

因為 $$\angle{CBL}=90^\circ$$，且 $$\angle{CGL}=90^\circ$$ 所以，$$CGBL$$ 四點共圓，且 $$CL$$ 為直徑，

根據圓內接四邊形對角互補的性質，所以，$$\angle{CGB}+\angle{CLB}=180^\circ$$，

如圖三所示，又 $$\angle{AGD}=\angle{AGF},\angle{BGD}=\angle{BGE},\angle{CGE}=\angle{CGF}$$，

所以，$$\angle{CGB}+\angle{AGD}=180^\circ$$，則 $$\angle{AGD}=\angle{CLB},\angle{ADG}=\angle{CBL}(=90^\circ)$$，

得 $$\Delta{AGD}\sim\triangle{CLB}$$，

即 $$\overline{BC}:\overline{BL}=\overline{AD}:\overline{DG}=\overline{BH}:\overline{GE}~(\because\overline{AD}=\overline{BH}=\overline{DG}=\overline{EG})$$。

$$\overline{BL}//{\overline{GE}}$$，得 $$\overline{BC}:\overline{BH}=\overline{BL}:\overline{EG}=\overline{BK}:\overline{KE}$$，

利用和比性質得 $$(\overline{BC}+\overline{BH}):\overline{BH}=(\overline{BK}+\overline{KE}):\overline{KE}$$

整理得 $$\overline{CH}:\overline{BH}=\overline{BE}:\overline{KE}$$，

即 $$\overline{CH}^2: \overline{CH}\cdot\overline{BH}=\overline{BE}\cdot\overline{EC}:\overline{KE}\cdot\overline{EC}=\overline{BE}\cdot\overline{EC}:\overline{EG}^2$$，

利用比例式內項乘積等於外項乘積的性質得

$$\overline{CH}^2\cdot\overline{EG}^2=(\overline{CH}\cdot\overline{HB})\cdot(\overline{BE}\cdot\overline{EC})=(a\Delta{ABC})^2$$，

最後，$$\overline{CH}=\displaystyle\frac{a+b+c}{2}=s,\overline{HB}=s-a, \overline{BE}=s-b, \overline{EC}=s-c$$，

得海龍公式 $$a\Delta{ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$。

海龍公式的原證明頗耐人尋味，教數理資優班的老師何妨讓學生試一試！

參考文獻

胡政德，〈Heron生平、《Metrica》及海龍公式的原始證法〉，《HPM通訊》9(4):3-5。