角速度（Angular Velocity）

角速度
台中縣常春藤高級中學物理科李品慧老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

角速度的定義為單位時間內，物體沿轉軸所轉過的角度，其SI制單位為弧度/秒(radians/sec)，平常也可用度數/秒(degree/sec)、圈數/秒(revolution/sec)或度數/小時(degree/hour)來表示。

假設剛體沿著轉軸轉動如圖，$$t_1$$ 到 $$t_2$$ 時間間隔內，角位置從 $$\theta_1$$ 改變至 $$\theta_2$$，則其平均角速度 $$\omega_{avg}$$ 為

$$\displaystyle \omega_{avg}=\frac{\theta_2-\theta_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}$$

即為單位時間內的角位移，或角位置變化量。

瞬時角速度 $$\omega$$ 則為當單位時間趨近於 $$0$$，即極短時間內的角位移，公式為

$$\displaystyle \omega=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{d\theta}{dt}$$

如果我們知道角位移與時間的關係式 $$\theta(t)$$，即可用微分求得。

若將弧長公式對時間微分可得

$$\displaystyle\frac{dS}{dt}=\frac{d\theta}{dt}r$$

然而 $$\frac{dS}{dt}$$ 為線速率 $$V$$，$$\frac{d\theta}{dt}$$ 為角速度 $$\omega$$，因此 $$V=\omega r$$，此時的 $$\omega$$ 必須以弧度為單位。

由此公式可知，剛體上的任一點均以相同的角速度運動，距離軸心愈遠(半徑愈遠)的質點有較大的線速率。若剛體的角速度為一常數，且剛體上任一點的線速率亦為常數，此剛體做等速率圓周運動，其轉動週期為

$$\displaystyle T=\frac{2\pi r}{V}$$

即圓周長除以速度。由於 $$V=\omega r$$，代入公式，可得

$$\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}$$

說明等速率圓周運動剛體的週期為，剛體轉一圈的角位移 $$2\pi$$ 除以角速度。

參考資料：

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_velocity