從數學建模觀點看最「適配」直線(一)

從數學建模觀點看最「適配」直線(一)
（The best-fit straight line in the view of mathematical modeling）
國立臺灣師範大學數學所博士班黃俊瑋

二千年前，天文學家托勒密 (Ptolemy, c.90-c.168) 的地心說，以地球為中心建立了太陽依圓形軌道繞地球運轉的天體運動模型，更一般性地，他在《天文學大成》（Almagest）一書中闡述了天體的運動軌跡為大圓的數學模型。

到了十六世紀天文學家哥白尼 (Copernicus, 1473-1543) 則改成以太陽為中心，地以圓形軌道繞日運行，大大簡化了模型的複雜度（將托勒密理論中的均輪和周轉圓，從原本的77個化減化34個）。

再到十七世紀克卜勒 (Kepler, 1571-1630) 除了接受哥白尼的日心說之外，依據其老師弟谷 (Tycho Brahe, 1546-1601) 的大量觀測數據，進一步建立了地球以橢圓形軌道繞太陽運行的天體運動定律，而這樣的數學模型更為「簡潔」而且「漂亮」。上述大家耳熟能詳的例子，都是現實生活與天文學研究中的數學建模實例。

另一方面，在高中課程裡，我們常會碰到下述問題：
坐標平面上給定兩點，求通過此兩點之直線方程式（一次函數圖形）；給定三點求通過此三點之拋物線方程式（二次函數圖形）或圓之方程式等。一般而言，已知坐標平面上 \(n+1\) 個點 \(P_1\)、\(P_2\)、\(\cdots\)、\(P_n\)、\(P_{n+1}\)，恰可造一個次數不高於 \(n\) 次的多項式函數 \(f(x)\)，使其通過這 \(n+1\) 個點。

這樣的問題與數學建模息息相關，例如當我們在 \(t_1\)、\(t_2\)、\(\cdots\)、\(t_{n+1}\) 等 \(n+1\) 個時間點，觀測、收集了 \((t_1,x_1)\)、\((t_2,x_2)\)、\(\cdots(t_{n+1},x_{n+1})\) 等 \(n+1\) 筆數據時，可利用這些數據造一個 \(n\) 次函數，使其圖形通過這 \(n+1\) 個點，此時當我們可據此函數推估、預測當 \(t=t_{n+1}\) 時 \(x_{n+1}\) 的值。上述 \(n\) 次多項式函數，可透過多種方式求得，例如待定係數法或者牛頓插值多項式又或者拉格朗日插值多項式等。再利用多項式相等的判別定理，便可確保此 \(n\) 次多項式函數的存在唯一性。

雖然，上述 \(n\) 次多項式函數的數學模型可完美地通過 \(n+1\) 筆數據資料，但統計家偏好較簡單的模型，希望以較簡單卻又負載足夠資訊量與解釋量的模型來描述這些數據。

圖一中所示，為 \(20\) 筆數據所形現之散佈圖，雖然我們可造一個 \(19\) 次多項函數，使其圖形通過這 \(20\) 點，作為一個「完美」的數學模型，然而，\(19\) 次多項函數的圖形過於「複雜」，因此，統計學家試圖透過其它方式為這筆數據建立一個適當的模型。

圖一 某20筆觀察數據之散佈圖

從上述散佈圖可看出這 \(20\) 筆二維數據具有高度的直線相關性，當橫坐標上的變數 \(x\) 增大時，縱坐標上的變數 \(y\) 也有線性增大的趨勢，又或者可進一步計算這些數據的（直線）相關係數 \(r\)，發現其介於 \(0.7\sim 1\)之間，具有高度的直線相關性。

在此條件下，不難想像我們可以為這筆數建立一個較簡單的「直線」模型。換句話說，從建模的角度來看，統計學家希望找到一條理論上的直線，最能「適配」(fit)這 \(20\) 筆數據。若以台語裡的「速配」來看，這裡統計上的譯名相當貼切、別具味道。建立此直線模型後，可利用此模型進一步進行預測與解釋。例如在給定自變數 \(x\) 值的條件下預測應變數 \(y\) 的值，或者說明某中某一變數解釋另一變數的程度。

當然，此直線並不會通過上述所有的 \(20\) 筆資料，甚至此直線有可能完全不 通過散佈圖中的任一個點（參見圖二中的20筆觀察數據與其適配直線）。因此，統計學家勢必透過某些方式或限制來探求這條理想中的直線。至於求此直線的想法，留待〈從數學建模觀點看最「適配」直線(二)」介紹。

圖二 前述20筆觀察數據之散佈圖與適配直線

連結：從數學建模觀點看最「適配」直線(二)