次數分配與其圖表

次數分配與其圖表 (Frequency Distribution and Its Tables and Figures)
國立臺灣大學農藝學系 劉素萍

前言

當你收到你的考試成績時，除了知道自己的成績（例如  \(85\) 分）之外，你一定也會對其他同學的成績感到興趣。這時，你可能會想了解，有多少同學跟你一樣得到 \(85\) 分？有多少同學的成績高於 \(85\) 分？又有多少同學的成績是低於 \(85\) 分？如果根據原始的數據來看，你可能無法快速清楚地看出這些訊息。但是，如果我們將全班分數依據大小以及發生的次數 (frequency) 來加以排列，就能夠快速有效率地獲得這些資訊。這種將分數依發生的次數來呈現的表達方式稱為「次數分配」。

未分組的次數分配表

首先，讓我們來了解未分組的次數分配表如何使用。如果我們將原始的分數（如表一）依未分組「次數分配」的方式加以整理（分數依大小以及發生的次數排列），這些分數資料就會變得較有意義（如表二）。我們很容易看出有 \(2\) 個人的分數是 \(85\) 分。而且，透過適當的累加次數，可以看出有 \(9\) 個人的分數高於 \(85\) 分，而有 \(19\) 個人的分數低於 \(85\) 分。除此之外，以「次數分配」的方式來呈現資料，可以讓我們易於觀察分數分布的範圍。從考試的成績來看，最高分是 \(100\) 分，最低分是 \(55\) 分，全班成績分布於 \(55\) 分到 \(100\) 分之間。

表一、考試成績 \((N = 30)\)。
（表格來源：本文作者劉素萍製）

表二、以未分組的次數分配來呈現考試成績 \((N = 30)\)。
（表格來源：本文作者劉素萍製）

分組的次數分配表

當有一份數字資料其分布的範圍很廣，例如全班同學的考試成績。若我們將每一個分數都列出來，就會產生很多次數 (frequency) 為 ” \(0\) ” 的情況（如表二），這樣我們很難看出成績分布的集中趨勢。因此，在這種情況下，我們常常會將分數依一定的間距歸類為幾個組別，並且以「分組的次數分配」來呈現（如表三）。在「分組的次數分配表」中，各分組的間距稱為「組距」 (class interval)。組距大小的選擇，是將資料分組時必須考量的重點。因為原始資料分組整併之後，必定會有一些訊息遺失。若是組距太大，就會遺失較多的訊息，降低資訊的精確度。組距太小，則會產生次數為 ” \(0\) ” 的情況。因此選擇一個適當的組距，才能獲得較好的分組結果。

表三、以分組的次數分配來呈現考試成績 \((N = 30)\)。
（表格來源：本文作者劉素萍製）

建立分組的次數分配表有下列幾個步驟，我們以考試成績的例子來說明：

1. 計算原始分數的全距。（最高分 – 最低分 \(= 100-51=49\)）
2. 決定組距。（全距/組數 \(=49\div 5\approx 10\)）
3. 列出每組的上下限，第一組必須包含最小值。 \((51\sim60,~61\sim70,~71\sim80,~81\sim90,~91\sim100)\)

累計每組的次數，完成分組的次數分配表。（如表三）

相對次數 (relative frequency)、累計次數 (cumulative frequency) 與累計百分比 (cumulative percentage)

除了使用「次數分配」的表達方式外，我們也常常使用「相對次數」、「累計次數」以及「累計百分比」來呈現分組的資料（如表四）。「相對次數」是指各組發生的次數佔所有次數的比例；「累計次數」是指落在每組真實上限之下所有次數的和；「累計百分比」則是指落在每組真實上限之下所有次數的百分比和。

表四、以相對次數、累積次數與累積百分比來呈現考試成績 \((N=30)\)。
（表格來源：本文作者劉素萍製）

繪製次數分配的統計圖

類別變數或次序變數的統計資料一般可用「長條圖」 (Bar plot) 來呈現（圖一）。長條圖中各個長條互相不能重疊或相連，圖中的每一長條分別代表一種分類的資料（如血型 A 型、B 型、O 型、AB 型），高度則是代表分類資料的次數。

圖一、各血型人數統計的長條圖。
（本文作者劉素萍繪）

等距變數或是比率變數的統計資料，則應使用「直方圖」 (Histogram) 來呈現（圖二）。直方圖是依次數分配表中的組距，將各組依序繪製於橫軸上，因此每一長條彼此相連沒有間距，而各長條的高度則是代表各組的次數。習慣上會在橫軸上標示出各組的組中點。

圖二、考試成績分配的直方圖。
（本文作者劉素萍繪）

「多邊圖」 (Polygon) 也可用來呈現等距變數或是比率變數的統計資料（圖三）。多邊圖是以點來標示各組次數，再以直線將各點連接起來形成一個多邊形。研究者想比較多個分配的圖形時，可使用多邊圖。

圖三、考試成績分配的多邊圖。
（本文作者劉素萍繪）

參考文獻

1. 沈明來 (2014)。生物統計學入門（第六版）。九州出版社。
2. Ott, L. (1993). An introduction to statistical methods and data analysis (4th ed.). Belmont, Calif.: Duxbury Press.
3. Pagano, R. R. (2010). Understanding statistics in the behavioral sciences (9th ed.). Belmont, CA: Wadsworth/Cengage Learning.