伯努力試驗與二項分布

伯努力試驗與二項分布 (Bernoulli Trial and Binomial Distribution)
國立成功大學統計系/東吳大學財務工程與精算數學系專任統計助教 杜柏毅

在生活中，有很多的事情都只有兩種結果 (outcome)，例如考試是否及格、明天是否下雨、丟擲銅板並觀察其結果。當一個試驗只有兩種可能結果（成功與失敗），且兩個結果出現之機率為固定（若成功機率為 \(p\)，則失敗機率為 \(1-p\)），我們稱這樣的試驗為伯努力試驗 (Bernoulli trial)。當我們重複進行多次相同的伯努力試驗（如丟擲一相同硬幣數次），且已知這些試驗之間的結果互相獨立（即這次試驗的結果不影響下次試驗的結果），則稱為二項實驗 (binomial experiment)。

舉例來說，本季罰球命中率約為九成的 NBA 球星 Stephen Curry 連罰 \(3\) 球（對運動員來說，連罰 \(3\) 球並不會有體力上的耗損）即是一個實驗次數為 \(3\)，成功機率為 \(0.9\) 的二項實驗。若我們觀察這個二項實驗中成功的次數，則稱此成功次數為一個符合二項分配 (binomial distribution) 的隨機變數，以“\(+\)”代表進球，“\(-\)”表示未進球，其可能的結果以隨機變數及其發生的機率以表一所示：

表一、Stephen Curry 連罰 3 球的結果、隨機變數及其發生的機率。

表一中第一欄的結果為隨機實驗的樣本空間（定義為 \(S\)），而第二欄隨機變數的結果則是透過一個隨機變數（定義為 \(X\)），將樣本空間的結果轉換由實數 \(\{x: 0,~1,~2,~3\}\)。第三欄表述隨機變數的結果之發生機率（記為 \(f(x)\)，\(f\) 為機率函數）。觀察進球數 \(x\) 與發生機率 \(f(x)\) 的關係，我們可將不同進球數的機率，以一個函數表達：

\(f(x)=C^3_x0.9^x(1-0.9)^{3-x},~~~~~~x=0,~1,~2,~3\)

此時我們可以說隨機變數 \(X\) 屬於「實驗次數 \(n = 3\)，成功機率 \(p = 0.9\) 的二項分配」，記為

\(X\sim B(3,0.9)\)

若推廣至實驗次數為 \(n\)，成功機率為 \(p\)，則機率分配為

 \(f(x)=C^n_xp^x(1-p)^{n-x},~~~~~~x=0,~1,…,~n\)

若有一隨機變數 \(X\) 屬於此分配，則記為

\(X\sim B(n,p)\)

接著，我們要討論二項分配的平均數（代表分配的集中趨勢）與變異數（代表分配的離散程度）。若有一隨機變數 \(X\sim B(n,p)\)，我們可將 \(X\) 視為 \(n\) 個成功機率為 \(p\)，且互相獨立的白努力分配 \((X_i\sim B(1,p))\) 的總和。

\(X=X_1+X_2+…+X_n\)

透過期望值的運算，可以得知其中任何一個伯努力分配的平均數為

\(E(X_i)=\sum\limits^1_{x=0}xp^x(1-p)^{1-x}=p\)

變異數為

\(Var(X_i)=E(X^2_i)-[E(X)]^2=\sum\limits^1_{x=0}x^2p^2(1-p)^{1-x}-p^2=p(1-p)\)

由於原隨機變數 \(X\) 中的所有 \(X_i\) 均為互相獨立的隨機變數，基於期望值與變異數的可加性，我們可知原隨機變數 \(X\) 的平均值與變異數為

\(E(X)=E(X_1+X_2+…+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+…+E(X_n)=np\)

\(Var(X)=Var(X_1+X_2+…+X_n)=Var(X_1)+Var(X_2)+…+Var(X_n)=np(1-p)\)

二項分配在不同實驗次數，及不同成功機率的分配圖形如圖一和圖二。

另外，二項分配之所以被稱為二項分配，是因為分配的機率值是二項式定理的二項係數。二項式定理與二項分配之機率總和：

二項式定理：\(\sum\limits^n_{x=0}C^n_xa^xb^{n-x}=(a+b)^n\)

二項分配之機率總和：\(\sum\limits^n_{x=0}f(x)=C^n_xp^x(1-p)^{n-x}=[p+(1-p)]^n=1\)

圖一、二項分配在不同成功機率下的分配圖形。（本文作者杜柏毅繪）

圖二、二項分配在不同實驗次數下分配圖形。（本文作者杜柏毅繪）

參考文獻

1. Hogg, R. V., & Craig, A. T. (1970). introduction to mathematical statistics. 7th Ed. p.11
2. Hogg, R. V., Tanis, E., & Zimmerman, D. (2014). Probability and statistical inference. 9th Ed. p.49