隨機完全區集設計介紹

隨機完全區集設計介紹(Introduction of Randomized Complete Block Design)
國立臺灣大學農藝學系 黃昭惠

一、原理

進行試驗設計時，當我們的試驗單位為異質，也就是試驗單位的變異不平均時，我們會利用區集的劃分，去除這些已知變異因子對實驗造成的影響。

以山坡地進行牧草品種實驗為例，假設有 A、B 兩種品種於坡地上進行比較試驗，每種品種三重複，其實驗目的為檢驗此兩品種的牧草產量是否具有明顯的差異，根據地理知識已知下坡的土地應較為肥沃，草坪的生長應較為繁茂，若直接將兩品種隨機排列（圖一），則 B 品種可能因生長於較佳的環境，故有較好的表現，而非品種差異所造成，這樣的結果會導致實驗的誤差，並影響我們在決策上的判斷；若我們採用本章所介紹的隨機完全區集設計（randomized complete block design, 簡稱 RCBD）進行試驗（圖二），將土地依據已知造成試驗誤差的因素（坡度）分為三組（三個區集：B1、B2、B3），同組 （區集）內的土地相似，並在每組能同步施測兩品種，便可有效控制坡度因子對實驗結果的影響，準確估計出品種之間真正造成差異的幅度大小。

圖一、隨機排列試驗配置圖。 圖二、依RCBD試驗配置圖。 （本文作者黃昭惠製）

以下是 RCBD 在使用上的幾個重要規則：

1. Random：每區級內各處理必須隨機排列於試驗單位中。
2. Complete：每區集內各參試處理變級均施測一次。
3. Block：利用區集減少試驗單位異質性影響。

二、分析方法

RCBD 進行試驗之後的資料，應採用變方分析 (analysis of variance, ANOVA) 探討不同處理下的平均值是否有顯著差異，變方分析結果常用變方分析表統整分析結果（表一）。

表一、隨機完全區集設計變方分析表。（本文作者黃昭惠製）

令 \(y_{ij}\) 為第 \(j\) 區集內第 \(i\) 處理的觀測值 \((i=1,\cdots,a\)，\(j=1,\cdots,b)\)，\(y_{i\cdot}\) 為第 \(i\) 處理所有觀測值的總和，\(y_{\cdot j}\) 為第 \(j\) 區集內所有觀測值的總和，\(y_{\cdot\cdot}\) 為所有觀測值的總和，則

\(\displaystyle SSB=\frac{1}{a}\sum^b_{j=1}y_{\cdot j}^2-\frac{1}{N}y_{\cdot\cdot}^2\)

\(\displaystyle SSt=\frac{1}{b}\sum^a_{i=1}y_{i\cdot}^2-\frac{1}{N}y_{\cdot\cdot}^2\)

\(\displaystyle SST=\sum^a_{i=1}\sum^b_{j=1}y_{ij}^2-\frac{1}{N}y_{\cdot\cdot}^2\)

\(\displaystyle SSE=SST-SSB-SSt\)

則考慮 \(F_t=\frac{MSt}{MSE}\)，若 \(F_t>F_{\alpha,a-1,(a-1)(b-1)}\)（查表），則表示不同處理下的平均值有顯著差異。

三、例題

今有 A、B、C、D 四品牌之電池，欲測定電池品牌是否對電池使用壽命造成影響，分別使用三滑鼠作為發電之載具，為了避免不同滑鼠的耗電量不同造成試驗的干擾，我們以滑鼠為區集，採用隨機完全區集設計進行試驗，並在試驗後記錄不同品牌電池的壽命如表二（單位：小時）。

表二、隨機完全區集設計資料範例。（本文作者黃昭惠製）

以變方分析探討不同品牌電池的平均壽命是否有顯著差異，整理變方分析表如表三。

表三、隨機完全區集設計變方分析表範例。（本文作者黃昭惠製）

\(\displaystyle SSB=\frac{1}{a}\sum^b_{j=1}y_{\cdot j}^2-\frac{1}{N}y_{\cdot\cdot}^2=91.5\)

\(\displaystyle SSt=\frac{1}{b}\sum^a_{i=1}y_{i\cdot}^2-\frac{1}{N}y_{\cdot\cdot}^2=75.583\)

\(\displaystyle SST=\sum^a_{i=1}\sum^b_{j=1}y_{ij}^2-\frac{1}{N}y_{\cdot\cdot}^2=9.167\)

\(\displaystyle SSE=SST-SSB-SSt=176.25\)

設顯著水準 \(\alpha=0.05\) 時，由於 \(F_t=\frac{25.194}{1.528}=16.491>F_{0.05,3,6}=4.7571\)，故推論不同品牌的使用壽命顯著不同。

參考文獻

1. 沈明來 (2012)。試驗設計學（第四版）。第七章—隨機完全區集設計。九州。
2. Montgomery, D. C. (2013). Design and Analysis of Experiments (eighth edition). Chapter 4.Experiments with Blocking Factors. John Wiley & Sons.