彈性位能

彈性位能 (Elastic Potential Energy)
國立臺灣大學物理學系 陳家德

彈性位能，是指施力於彈性物質使其產生型態變化時，儲存在彈性物質中的能量。

從微觀的角度來看，彈性位能與原子間距離變化導致的能量變化有關，所以彈性位能和重力位能、電位能一樣都是與位置有關的能量。

在討論位能的時候，必須定義零位面─也就是位能為零的位置。對彈性位能來說，零位面就是物質的原始形狀，或稱之為平衡狀態。彈性物質在形狀改變後，會有恢復平衡狀態的特性，而恢復平衡狀態的時候會將儲存的彈性位能釋放到環境中。

但是彈性物質的形變會有限制，當形狀改變的幅度超過特定量，物質就會失去彈性，也就無法討論彈性位能了。

以生活中常見的彈簧為例，若以手施力使彈簧壓縮，能量就以彈性位能的形式儲存在彈簧裡。而只要鬆開手，彈簧就會恢復原狀，同時將能量釋放出來，去推動彈珠、活塞等等。

再拿拍皮球的動作當例子，當球落到地面上時，球會受到地面的阻擋而變得較扁，此時球往下衝的動能就轉變為彈性位能儲存（此處不考慮能量以熱的形式散失）。接著，藉由釋放這股彈性位能，球能夠彈離地面，重新獲得動能。（圖一）

圖一、皮球落下與彈起過程。（本文作者陳家德繪） 

以下用力學中基本的虎克定律來推導彈性位能公式。虎克定律描述彈性物質所受外力與型態變化量呈線性關係，常見的例子就是彈簧。

彈簧的彈力、所受外力和型態變化的關係，可以用下式表示：

$$F = kx = -f$$

$$F$$ 表示所受外力，$$f$$ 表示彈簧的彈力， $$x$$ 為型態變化量（在此為長度變化），$$k$$ 為彈性係數（根據使用的彈簧決定）。

$$f$$ 前的負號來自於彈簧彈力的方向與 $$x$$ 的方向相反。當彈簧被壓縮時，$$x$$ 為負值，但 $$f$$ 卻是正值。反之彈簧被拉伸時，$$x$$ 為正值，但 $$f$$ 卻是負值。換個方式說，$$f$$ 永遠都會朝向平衡狀態的方向，因此會與 $$x$$ 相反。

我們假設一個情況：彈簧的一端固定在牆上，一端被手等速拉伸，使之長度增加 $$x$$。由能量守恆定律可知，儲存在彈簧中的彈性位能就是由手對彈簧做的功 $$(w)$$ 轉換而來。

進行積分計算，或是直接計算（圖二）三角形面積，可以得到彈性位能 $$U=0.5kx^2$$。

圖二、外力與伸長量關係圖，三角形面積為所作功。（本文作者陳家德繪）

知道如何計算彈簧儲存的彈性位能後，以下將說明如何將結果推廣到其他符合虎克定律的彈性物質。

首先我們介紹一根長直彈性棒的楊氏係數，這個隨材料變化的值用來描述符合虎克定律的彈性物質。楊氏係數的因次是拉應力 $$(\sigma)$$ 除以應變 $$(\varepsilon)$$，拉應力是指力量除以長直物體的橫截面積 $$(A)$$，應變為長度變化 $$(\Delta L)$$ 除以總長度 $$(L)$$。

$$\displaystyle Y=\frac{\sigma}{\varepsilon}=\frac{F/A}{\Delta L/L}$$

可以將一個彈性物質的彈力與應變關係寫為下式：

$$F=YA\varepsilon$$

將 $$F$$ 對 $$\Delta L$$ 做積分，就得到彈性位能了：

$$\int^{\Delta L}_{0}F~d\Delta L=\int^{\Delta L}_{0}(YA\varepsilon)d\Delta L=\int^{\Delta L}_{0}(YA \Delta L/L)d\Delta L$$

參考文獻

1. Potential Energy — The Physics Classroom. http://www.physicsclassroom.com/class/energy/u5l1b.cfm
2. Elastic energy — http://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_energy
3. Young’s modulus — http://en.wikipedia.org/wiki/Young%27s_modulus
4. Thornton, S. T. and Marion, J. B. (2008), Classical Dynamics of Particles and Systems, fifth edition, Brooks Cole