我猜牛頓是這樣得到第三運動定律

我猜牛頓是這樣得到第三運動定律
行政院科技部科技顧問／瑞典林雪平大學榮譽教授 趙光安

前言

我在高雄中學高中三年級的物理課是從力學開始：牛頓萬有引力定律，牛頓的三個運動定律，虎克定律，… 等等。我曾經自創一個“表面粗糙模型”，應用牛頓第二運動定律，推導出來虎克定律，於是更想知道牛頓是如何發現這些重要定律。雖然我是茫無頭緒，我的物理老師胡宇平也不能給我答案，他卻鼓勵我不要放棄。

過去幾十年中，斷斷續續的偶爾想到這回事。來到歐洲以後，得利於天時、地利、人和，終於摸索出一些頭緒。不久前整理了一篇演講稿，敘述（我認為）牛頓發現萬有引力定律的思維過程，得到了以下的結果。令太陽的質量為 $$M$$，地球的質量為 $$m$$，太陽與地球的距離為 $$R$$。我推論出：太陽對地球的引力是 $$F_M(m)\propto \frac{C(M)m}{R^2}$$, 此處的 $$C(M)$$ 只和太陽的質量 $$M$$ 有關。當然，地球對太陽的引力是 $$F_m(M)\propto \frac{C(m)M}{R^2}$$, 此處的 $$C(m)$$ 只和地球的質量 $$m$$ 有關。但是我不明白牛頓是如何得到萬有引力定律 $$F_M(m)=F_m(M)=\frac{CMm}{R^2}$$，此處的 $$C$$ 只是一個常數。

後來我又寫了一篇手稿，敘述（我認為）牛頓如何得到第二運動定律，但是我始終搞不懂牛頓如何得到第三運動定律。第三定律規範了兩個物體相互作用時，作用力和反作用力的關係，可是兩個物體的相互作用可以是接觸的，也可以是非接觸的，必須分別討論。現在我試圖推論 $$F_M(m)=F_m(M)=\frac{CMm}{R^2}$$，然後和牛頓第二運動定律結合起來，得到牛頓第三運動定律。

兩個物體之間的「非接觸」相互作用

牛頓的萬有引力定律是建立在一個「質點模型」上的。太陽和地球都各佔有很大的空間，如何決定太陽與地球的距離 $$R$$？太陽和地球雖然很大，可是和 $$R$$ 比起來，卻是微不足道。因此，牛頓把太陽和地球看成兩個質點，在太陽裡面取一點（$$S$$ 點），這就是太陽的位置，它的總質量 $$M$$ 被壓縮在 $$S$$ 點，在地球裡面取一點（$$E$$ 點），這就是地球的位置，它的總質量 $$m$$ 被壓縮在 $$E$$ 點。$$S$$ 點和 $$E$$ 點的距離是 $$R$$。我們可以做一個想像，用很多假想的平面把太陽分成很多塊：$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$…等等，每一塊對地球都有引力，是組成太陽的總引力的一個分力。用牛頓的「質點模型」來計算每一塊的分力，我們得先把這一塊的質量壓縮成一點，然後把它放在 $$S$$ 點上。如果原來的 $$A$$ 塊產生的分力，和原來的 $$B$$ 塊產生的分力，之間有任何關聯，當它們個別的質量被壓縮成一點，移放在 $$S$$ 點上之後，$$A$$ 塊和 $$B$$ 塊產生的這兩項分力，之間就不會再有任何關聯了。把這些分項引力加在一起，就是太陽對地球的總引力。因此，我相信以下這個合理的結論。牛頓用「質點模型」，知道在任何兩個質點之間都存在著「引力」。太陽是由無數多的質點所組成的，每一個質點對地球都有引力，把這些引力加在一起，就是太陽對地球的總引力，因此，總引力的大小和質量的關係是「線性的」。先知先覺的牛頓，能洞悉真理真像，得到了正確的數學表達式  $$F_M(m)=F_m(M)=\frac{CMm}{R^2}$$。過了幾年之後，牛頓發明了「微積分」，再用「質點模型」來精確的計算總引力時，就不需要把位於太陽中任何一點的質量移動到 $$S$$ 點了！

後知後覺的我還是想更深入的知道 $$F_M(m)=F_m(M)=\frac{CMm}{R^2}$$  是如何被推導出來的。我的弟弟趙榮安（台大物理系1964年畢業）提醒我兩個重點，第一個重點是，如果太陽的質量是零 $$M=0$$，太陽對地球的引力就消失了 $$F_M(m)=0$$。這個條件，給了我一個重要的啟發，可以用在牛頓時代就已經有的“線性代數學”，解“多元一次聯立方程式”，推導出「萬有引力定律」的完整數學式。我應該先解說一件事。「線性代數」由來已早，「雞兔同籠」就是古代的一個線性代數的「二元一次方程式」的數學題目。現代意義的線性代數出現於牛頓時代的十七世纪。經過一百多年的演進，直到十九世纪時，才完成了從三維線性空間到 $$n$$ 維線性空間的過渡。同時，由於行列式和矩陣的產生，為處理線性問題提供了有力的工具。於是進一步的發展出函數理論， 和我們現在的討論有關的， $$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ 這一類的「線性函數」，它的「解」都有那幾類，以及他們分別都有什麼數學性質，也是一時的重要研究主題。如果我們用現在知道的「線性函數」的理論，立刻就得到 $$F_M(m)=F_m(M)=\frac{CMm}{R^2}$$。不過，這些「我們現在知道」的數學結論，都是牛頓身後發生的事。

我們就用牛頓時已有的數學知識，從 $$F_M(m)\propto \frac{C(M)m}{R^2}$$ 開始來考慮問題。為了方便表述，我把比例常數包含在 $$C(M)$$ 中，寫成  $$F_M(m)=\frac{C(M)m}{R^2}$$。因為當 $$M=0$$ 時，$$C(0)=0$$，我們可以用一個「一般解」的形式把 $$C(M)$$ 表達成

$$C(M)=CM+X_2M^{a_2}+X_3M^{a_3}+X_4M^{a_4}+…~~~~~(1)$$

此處的 $$X_2$$，$$X_3$$，$$X_4$$，．．．皆為待定的係數，$$a_2$$，$$a_3$$，$$a_4$$，．．．可以有不等於 $$1$$ 的任何正數值。現在我們想像，太陽被分成很多塊，每一塊對地球都有引力，把這些引力加在一起，就是太陽對地球的引力。讓我們考慮第一種分法，把太陽分成兩塊，一塊的質量是 $$\frac{M}{3}$$，另一塊的質量是 $$\frac{2M}{3}$$。它們各別對地球的引力是 $$F_{\frac{M}{3}}(m)=\frac{C(\frac{M}{3})m}{R^2}$$，其中

$$C(\frac{M}{3})=C(\frac{1}{3})M+X_2(\frac{1}{3})^{a_2}M^{a_2}+X_3(\frac{1}{3})^{a_3}M^{a_3}+X_4(\frac{1}{3})^{a_4}M^{a_4}+…$$，

和 $$F_{\frac{2M}{3}}(m)=\frac{C(\frac{2M}{3})m}{R^2}$$，其中

$$C(\frac{2M}{3})=C(\frac{2}{3})M+X_2(\frac{2}{3})^{a_2}M^{a_2}+X_3(\frac{2}{3})^{a_3}M^{a_3}+X_4(\frac{2}{3})^{a_4}M^{a_4}+…$$，

用 $$F_{\frac{M}{3}}(m)+F_{\frac{2M}{3}}(m)=F_{M}(m)$$ 這個條件，就得到

$$\{[(\frac{1}{3})^{a_2}+(\frac{2}{3})^{a_2}]M^{a_2}\}X_2+\{[(\frac{1}{3})^{a_3}+(\frac{2}{3})^{a_3}]M^{a_3}\}X_3+\{[(\frac{1}{3})^{a_4}+(\frac{2}{3})^{a_4}]M^{a_4}\}X_4+…=0$$

如果把 $$X_2$$，$$X_3$$，$$X_4$$，… 看成待解的未知元，以上的「多元一次方程式」可以寫成

$$C_{1,2}X_2+C_{1,3}X_3+C_{1,4}X_4+…=0~~~~~(2)$$

在係數 $$C_{1,n}=[(\frac{1}{3})^{a_n}+(\frac{2}{3})^{a_n}]M^{a_n}$$ 的下標 $$(1,n)$$ 中，第一個數字 $$”1″$$ 是代表「太陽質量的第一種分法」。其他的係數 $$C_{i,n}$$ 俱有類似的意義。

假想把太陽分成很多塊，有幾乎無窮多種分法。相對於每一種分法，就有一個類似的方程式，只是其中的係數不同。我們把第 $$”i”$$ 種分法的相對的那一組係數表達為 $$(C_{i,2},C_{i,3},C_{i,4}…)$$。於是我們得到一組「多元一次聯立方程式」

$$C_{1,2}X_2+C_{1,3}X_3+C_{1,4}X_4+…=0$$
$$C_{2,2}X_2+C_{2,3}X_3+C_{2,4}X_4+…=0$$
$$…$$
$$C_{i,2}X_2+C_{i,3}X_3+C_{i,4}X_4+…=0$$
$$…$$

在這個「多元聯立方程式」中，有幾乎無窮多元，也有幾乎無窮多個方程式。除了所有的 $$X_2=X_3=X_4=…=0$$ 這個解之外，很難想像存在著 $$X_i\ne 0$$ 的解。即使存在著 $$X_i\ne 0$$ 的解，這一組答案也只是相對於太陽的質量 $$M$$。如果把 $$M$$ 換成地球的質量 $$m$$，來計算地球對月球的吸引力，因為所有的係數 $$C_{i,n}$$ 的數值都變了，我們得到的是另外一組 $$X_i\ne 0$$ 的解。這種「違反自然現象」的數學答案，是物理界不能接受的「非物理答案」。

我們能接受的，合乎自然現象的「物理解」是 $$X_2=X_3=X_4=…=0$$。我們從“式-(1)”中就得到 $$C(M)=CM$$，進而得到太陽對地球的引力是  $$F_M(m)=\frac{CMm}{R^2}$$。按照同樣的道理，地球對太陽的引力也是  $$F_m(M)=\frac{CMm}{R^2}$$。這就是牛頓的萬有引力定律

$$F_M(m)=F_m(M)=\frac{CMm}{R^2}$$

兩個物體之間的「接觸」相互作用

1666年牛頓發現萬有引力定律，二十一年後，1687年牛頓出版力他的三個運動定律。第二運動定律，$$f(t)=\frac{d}{dt}[m(t)v(t)]$$，把“力” $$f(t)$$ 定義為動量 $$[m(t)v(t)]$$ 隨時間 $$t$$ 的改變率。如果沒有力加在一個物體上，$$f(t)=0$$，它的動量就是一個不隨時間改變的定值。現在我們考慮兩個物體互相碰撞。第一個物體的動量在碰撞前是 $$P_1$$，在碰撞後是 $$P_2$$。第二個物體的動量在碰撞前是 $$Q_1$$，在碰撞後是 $$Q_2$$。因為沒有「外力」加在這兩個物體上，它們的總動量就不會因為互碰而改變，所以 $$P_1+Q_1=P_2+Q_2$$，或者寫成 $$P_2 -P_1=-(Q_2-Q_1)$$。我們用 $$T$$ 表示互相碰撞所經歷的時間，用牛頓第二運動定律，我們就得到，第二個物體加在第一個物體上的力是 $$F_1=\frac{(P_2-P_1)}{T}$$，第一個物體加在第二個物體上的力是 $$F_2=\frac{(Q_2-Q_1)}{T}$$，亦即 $$F_2=-F_1$$。所以，兩個物體作「接觸力」的互相作用時，作用力和反作用力的大小相等，方向相反。

牛頓第三運動定律

在1666年牛頓發現萬有引力定律時，「力」還只是一個觀念，到牛頓得到第二運動定律時，才確定了「力是一個能測出的物理量」。我弟弟趙榮安提醒我的第二個重點是，根據 $$F_M(m)=F_m(M)=\frac{CMm}{R^2}$$ 這個數學式，測太陽對地球的引力，和測地球對太陽的引力，會得到同一個數值。因此，太陽對地球的引力，和地球對太陽的引力，並不是兩個獨立的力，而是一個力。所以在牛頓推導出，「兩個物體作接觸力的互相作用時，作用力和反作用力的大小相等，方向相反」之後，一定是很快的就了解到，以上的數學表達式，所代表的物理作用，是一個「互相作用力」，是太陽和地球兩個非接觸物體之間的，大小相等，方向相反的「作用反作用力」。到此時，牛頓就完整的建立了他的第三運動定律。

後記：天文力學新紀元

太陽和地球之間的相互「作用反作用力」，不會改變「太陽和地球的總動量」。如果在「單位時間」內，地球的速度改變是 $$U_E$$，太陽的速度改變就是  $$U_s=-(\frac{m}{M}) U_E$$，$$U_s$$ 的值比 $$U_E$$ 的值要小很多很多。於是，當地球在一個大的橢圓軌道上運行時，太陽也在一個，相對於地球軌道的大小，非常非常小的橢圓軌道上，沿著相反的方向運行。在牛頓的時代，地球上的人是無法測出太陽在運動，就認為太陽是永遠靜止的。在他的多次演講中，Richard Feynman常說：「有了足夠的資訊以後，就能“猜”出正確的答案」。我可以想像，牛頓“猜”出了以下的這個答案。太陽和地球以相反的方向在各自的橢圓軌道上運動，在連結太陽和地球的直線上，就有一個點是相對不動的。用「平面幾何」來計算，這一點和地球的距離，是和太陽的距離的 $$\frac{M}{m}$$ 倍。如果沒有「外力」加在「太陽-地球」這一個系統上，這一點是相對的永遠靜止，或作等速直線運動，而太陽和地球都繞著這一個定點運轉。在兩千兩百多年前，阿基米德從在地面上所做的實驗，定義出「質量中心」。牛頓分析出的這個「相對不動點」，就是阿基米德定義的「質量中心」，於是就把「質量中心」的觀念推廣到所有的天體運動中。

在很久之前，天主教會以神學為基礎的「天動理論」，認為地球是宇宙中「靜止的中心」，天空中的萬物都繞著地球轉。波蘭天文學家哥伯尼認為地球是繞著太陽轉，可是他的「地動理論」被天主教會禁止了一段時期以後，才被公開接受。牛頓的基本的運動定律，更進一步的推進到「天地互動理論」，替天文力學開創了一個新紀元。