各式聯立方程組的程序性解法 (1)：麥克勞林與卡丹諾
（Different Procedural Resolutions of Linear Equations: Maclaurin’s and Cardano’s Works）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
摘要：本文介紹麥克勞林在其《代數學》中所呈現的二元、三元一次聯立方程組的解公式，它們等價於克拉瑪公式。另外還介紹了卡丹諾在《大技術》中相當於二元一次聯立方程組的程序性解法。
麥克勞林的公式
麥克勞林 (Colin Maclaurin, 1698~1746)在27歲的時候獲得牛頓 (Newton)的推薦擔任愛丁堡大學數學教授一職，將一生都奉獻給了故鄉蘇格蘭。在他死後兩年 (1748年)才出版的著作《代數學》(Treatise of Algebra)中，也有今日所謂的「克拉瑪公式」，他利用解方程式的方式，得出下列的公式：
$$\left\{ \begin{array}{l} ax + by = c\\ dx + ey = f \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =\displaystyle \frac{{ce – bf}}{{ae – db}}\\ y =\displaystyle \frac{{af – dc}}{{ae – db}} \end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{l} ax + by + cz = m\\ dx + ey + fz = n\\ gx + hy + kz = p \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =\displaystyle \frac{{ekm – bfm + bcn – bkn + bfp – cep}}{{aek – abf + dbc – dbk + gbf – gce}}\\ y =\displaystyle \frac{{afp – akn + dkm – dep + gcn – gfm}}{{aek – abf + dbc – dbk + gbf – gce}}\\ z =\displaystyle \frac{{aep – abn + dbm – dbp + gbn – gem}}{{aek – abf + dbc – dbk + gbf – gce}} \end{array} \right.$$
虛數$$\sqrt{-1}$$的誕生-下（The Origin of Imaginary Number$$\sqrt{-1}$$)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
連結：虛數√-1的誕生-上
在〈虛數 $$\sqrt{-1}$$ 的起源〉(上) 一文中，我們看到卡丹諾利用立方體來論證三次方程解法的正確性。在這樣的看法下，方程式的「根」代表著邊長。因此，需要開一個負數的平方根，代表著這個問題是無解，沒有實際意義的。
卡丹諾在處理二次方程時，便是這樣的想法。當他考慮將 $$10$$ 分成兩個數，且兩數乘積為 $$40$$ 的問題，即 $$x(10-x)=40\Rightarrow x^2+40=10x$$，就清楚地提到：「這種情形或問題是不可能的。」不過，他仍可用二次公式得到兩個解 $$5+\sqrt{-15}$$ 和 $$5-\sqrt{-15}$$。
同時，他也指出：我們若「能放下心中的折磨」，直接計算兩數的乘積，便能得到 $$25-(-15)=40$$，符合原來題設。他無法說出這件事的意義何在，只好利用「算術就是這麼精巧又不中用。」的說法來交待。因此，卡丹諾對於出現 $$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 的現象，也是採取迴避的策略吧。
虛數$$\sqrt{-1}$$的誕生-上（The Origin of Imaginary Number$$\sqrt{-1}$$)
新北市中正國中數學科陳鳳珠老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
一般人都知道虛數 $$\sqrt{-1}$$ 是方程式 $$x^2+1=0$$ 的根，在合理的推論之下，虛數 $$\sqrt{-1}$$ 應該是誕生在二次方程的解法之中才是。如果你也這樣以為，那麼，數學史家的研究結果，絕對出乎你的意料之外！
在數學發展過程中，早期數學家面對方程式 $$x^2+1=0$$ 時，和我們現在的國中數學課本處理方式一樣，他們認為這樣的方程式是無解，當然，也就無須發明一個數，來表示方程式 $$x^2+1=0$$ 的根。不過，當我們回顧虛數 $$\sqrt{-1}$$ 誕生的故事時，便會認同數學史家的觀點，也就是說：虛數 $$\sqrt{-1}$$ 並非誕生在二次方程式的解法之中，而是在解三次方程時現身。