虛數√-1的誕生-下（The Origin of Imaginary Number √-1)

虛數$$\sqrt{-1}$$的誕生-下（The Origin of Imaginary Number$$\sqrt{-1}$$)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

連結：虛數√-1的誕生-上

在〈虛數 $$\sqrt{-1}$$ 的起源〉(上) 一文中，我們看到卡丹諾利用立方體來論證三次方程解法的正確性。在這樣的看法下，方程式的「根」代表著邊長。因此，需要開一個負數的平方根，代表著這個問題是無解，沒有實際意義的。

卡丹諾在處理二次方程時，便是這樣的想法。當他考慮將 $$10$$ 分成兩個數，且兩數乘積為 $$40$$ 的問題，即 $$x(10-x)=40\Rightarrow x^2+40=10x$$，就清楚地提到：「這種情形或問題是不可能的。」不過，他仍可用二次公式得到兩個解 $$5+\sqrt{-15}$$ 和 $$5-\sqrt{-15}$$。

同時，他也指出：我們若「能放下心中的折磨」，直接計算兩數的乘積，便能得到 $$25-(-15)=40$$，符合原來題設。他無法說出這件事的意義何在，只好利用「算術就是這麼精巧又不中用。」的說法來交待。因此，卡丹諾對於出現 $$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 的現象，也是採取迴避的策略吧。

直到邦貝利在《代數學》(Algebra, 約成於1556-1560左右) 才正式對這種特別的方根提出討論：給它名稱，並規定它的運算規則。他將加一個負數平方根叫做「負的加」，因此，$$2+\sqrt{-121}$$ 稱作「$$2$$ 負的加根號 $$121$$」。類似的規則，$$2-\sqrt{-121}$$ 就稱作「$$2$$ 負的減根號 $$121$$」。

附帶一提，現在我們所稱的「虛數」是笛卡兒 (René Descartes，1596-1650)提出的；而記號 $$i$$ 則是歐拉 (Léonard Euler, 1707-1783) 最先使用。至於它的運算法則規定如下，後面則用現在的符號加以表示：

正         乘以 負的加 得 負的加       $$(+1)(i)=i$$
負         乘以 負的加 得 負的減       $$(-1)(i)=-i$$
正         乘以 負的減 得 負的減       $$(+1)(-i)=-i$$
負         乘以 負的減 得 負的加       $$(-1)(-i)=i$$
負的加 乘以 負的加 得 負               $$(+i)(+i)=-1$$
負的加 乘以 負的減 得 正               $$(+i)(-i)=+1$$
負的減 乘以 負的減 得 負               $$(-i)(-i)=-1$$

事實上，邦貝利也是認為這類方根是「人造的，而不是真實的」。因為，他找不到關於它們的幾何論證。

不過，他仍從已知的運算法則去類推和發現這些形式規則，讓他可以化簡上述 $$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 的複雜算式。

首先，他假設$$2+\sqrt{-121}=(a+\sqrt{-b})^3$$，則 $$2-\sqrt{-121}=(a-\sqrt{-b})^3$$。

那麼，兩式相乘可得 $$(2+\sqrt{-121})(2-\sqrt{-121})=(a+\sqrt{-b)}^3(a-\sqrt{-b)}^3$$。

因此，整理可得 $$4-(-121)=[(a)^2-(-b)]^3$$。

也就是，$$125=(a^3+b)^3$$，故 $$a^2+b=5$$。

又 $$\begin{array}{ll}2+\sqrt{-121}&=(a+\sqrt{-b})^3\\&=a^3+3a^2\cdot\sqrt{-b}+3a\cdot(-b)+(-b)\cdot\sqrt{-b}\\&=(a^3-3ab)+(3a^2-b)\sqrt{-b}\end{array}$$，

可得 $$a^3-3ab=2$$。

所以，只要解出 $$a^2+b=5$$ 與 $$a^3-3ab=2$$ 即可。

事實上，邦貝利只須找到一個整數 $$a$$，使得 $$a<5$$ 且 $$a^3>2$$。

因此，$$a=2$$ 是唯一的可能答案。連帶地，就能得知 $$b=1$$ 。

換句話說，$$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=(2+\sqrt{-1})+(2-\sqrt{-1})=4$$，這個問題得到最後的解決。

邦貝利最大的貢獻，是讓數學家了解到在求實數解的某些場合中，負數的平方根是必要的。換句話說，出現負數平方根的式子並不總是代表著問題無解。這使得數學家被迫得要去「面對」複數 (這個名詞是高斯提的)。

然而，數學家也並非張開雙臂歡迎它。即便到了十八世紀，數學家們知道複數在方程式論上有作用，也知道複數在三角函數和指數函數之間有深刻的關係。但歐拉在《代數指南》(Elements of Algebra) 中仍然認為：「既然吾人可能設想之數，若非大於零或小於零，即為零本身，那麼明顯地，吾人無法將負數之平方根同列於可能之數中，是以吾人必須認定此為一不可能之量。……是以它們被稱為虛量，因其僅存於想像之中。」

事實上，複數的身份被「扶正」，已經是十九世紀的事情。在高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)、柯西 (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857) 及漢密爾頓 (William Rowan Hamilton, 1805-1865) 等人的努力下，複數才得以奠定穩固的基礎。至於這些數學家為何要花這麼大的精力呢？那是因為複數此時已經變得非常有用，以致於他們無法迴避複數的使用。

所以，為什麼我們要「相信」複數呢？因為它太有用了。 

參考文獻：

1. 比爾．柏林霍夫、佛南度．辜維亞著，洪萬生暨HPM團隊譯 (2008).《溫柔數學史》，台北：博雅書屋。
2. 李文林主編 (2000).《數學珍寶》，台北：九章出版社。
3. 陳鳳珠 (2000).〈虛數的誔生〉，《HPM通訊》3(2/3): 15-21。
4. Cardano, Girolamo (1968/1993). Ars Magna (or The Rules of Algebra) (translated and edited by T. R. Witmer), Cambridge, MA: MIT Press / New York, NY: Dover Publication, INC.
5. Katz, Victor (1993). A History of Mathematics: An Introduction. New York: HarperCollins College Publishers.