虛數√-1的誕生-上（The Origin of Imaginary Number √-1)

虛數$$\sqrt{-1}$$的誕生-上（The Origin of Imaginary Number$$\sqrt{-1}$$)
新北市中正國中數學科陳鳳珠老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

一般人都知道虛數 $$\sqrt{-1}$$ 是方程式 $$x^2+1=0$$ 的根，在合理的推論之下，虛數 $$\sqrt{-1}$$ 應該是誕生在二次方程的解法之中才是。如果你也這樣以為，那麼，數學史家的研究結果，絕對出乎你的意料之外！

在數學發展過程中，早期數學家面對方程式 $$x^2+1=0$$ 時，和我們現在的國中數學課本處理方式一樣，他們認為這樣的方程式是無解，當然，也就無須發明一個數，來表示方程式 $$x^2+1=0$$ 的根。不過，當我們回顧虛數 $$\sqrt{-1}$$ 誕生的故事時，便會認同數學史家的觀點，也就是說：虛數 $$\sqrt{-1}$$ 並非誕生在二次方程式的解法之中，而是在解三次方程時現身。

有關虛數 $$\sqrt{-1}$$ 誕生的故事，我們可以從十六世紀義大利學者卡丹諾 (G. Cardano, 1501-1576) 談起。卡丹諾是數學史上有名的怪人，不但博學多才，通曉醫學、數學與天文學，且喜好賭博與占星術。他對當時的所有知識相當投入，著述豐富且涉及許多方面。在1545年時，卡丹諾發表了他的傑作《大術》(Ars Magna，英譯The Great Art，原意為「偉大的技藝」)，其中以介紹一般三、四次方程的求根公式最為著名。

在本書中，卡丹諾首先以具體方程為例，說明了（不完全）三次方程 $$x^3+mx=n$$（$$m$$、$$n$$ 為正數）的解法：「將 $$x$$ 項係數的三分之一自乘三次，再加上方程式常數項係數 $$n$$ 一半的平方，將兩者之和開平方。將此過程重複一次，其中一根加上常數項係數 $$n$$ 的一半，另一根則減去常數項係數 $$n$$ 的一半……然後，前者的立方根減去後者的立方根，剩下的即為 $$x$$ 的值。」

換言之，所謂卡丹諾公式解即是

$$\displaystyle x=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{-n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}$$

例如，卡丹諾求解三次方程 $$x^3+6x=20$$ 時，根據他的公式，即可得到

$$\begin{array}{ll}x&\displaystyle =\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{-n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}\\&=\displaystyle \sqrt[3]{10+\sqrt{108}}-\sqrt[3]{-10+\sqrt{108}}\end{array}$$

卡丹諾的論證純粹為幾何圖解（geometric demonstration），涉及單純的立方體與其體積。

用現代的代數方法說明，

亦即設 $$t-u=x$$，則原方程式 $$x^3+mx=n$$ 變成 $$(t-u)^3+m(t-u)=n$$，

利用立方和公式展開 $$t^3-u^3-3tu(t-u)+m(t-u)=n$$，

化簡後得 $$t^3-u^3+(t-u)(m-3t)=n$$。

觀察後，令 $$3tu=m$$ 與 $$t^3-u^3=n$$，

從前式可得 $$u=m/3t$$，帶入後式得到 $$t^3-\frac{m^3}{27t^3}=n$$，

兩邊再乘以 $$t^3$$ ，且重新整理後，可得方程式 $$t^6-nt^3-\frac{m^3}{27}=0$$。

若將此方程式視為 $$t^3$$ 的二次方程式：$$(t^3)^2-n(t^3)-\frac{m^3}{27}=0$$，

利用早已為當時數學家所熟知的二次方程式公式解得出：

$$\begin{array}{ll}t^3\displaystyle =\frac{n\pm\sqrt{n^2+\frac{4m^3}{27}}}{2}&\displaystyle=\frac{n}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{n^2+\frac{4m^3}{27}}\\&\displaystyle=\frac{n}{2}\pm\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}\end{array}$$

接著，將 $$t$$ 開立方，可得：$$\displaystyle t=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}$$

我們從 $$u^3=t^3-n$$，便知

$$\displaystyle u^3=-\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}$$ 或 $$\displaystyle u=\sqrt[3]{-\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}$$

最後，我們得出三次方程式 $$x^3+mx=n$$ 的卡丹諾公式解：

$$\displaystyle x=t-u=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{-n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}$$

值得特別注意的是，十六世紀的數學家要求方程式中的係數必須為正數，因此，卡丹諾在書中分別針對 $$x^3=mx+n$$、$$x^3+n=mx$$ 等等（不完全）三次方程，提出了以現代眼光來看，似乎是多此一舉的公式解。在《大術》的最後，卡丹諾做出了結論，他認為三次方程已獲得解答。

事實果真是如此嗎？答案顯然是否定的，因為他所處理的是不完全的三次方程，並非針對一般的三次方程式。儘管如此，對於三次方程的解決，卡丹諾公式仍令人感到相當振奮。不過，卻也因為卡丹諾公式的出現，引出了數學史上的一個重要難題。

不過，緊接著出現的難題，卻成為虛數 $$\sqrt{-1}$$ 誕生的契機！當我們考慮三次方程 $$x^3=15x+4$$ 的求解時，就出現了令當時數學家難以解釋的結果，因為根據卡丹諾的公式解，可得：

$$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$

就當時數學家的觀點，出現負數的平方根絕對是不合理的，所以，數學家通常容易忽略它，而認為這個三次方程不可解。然而，我們卻可以輕易的檢驗出 $$x=4$$ 的確是這個三次方程的一個解，但是，為何在利用卡丹諾公式所求得的結果中，卻沒有看到 $$x=4$$ 出現？究竟所得到的解$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 和 $$4$$ 有沒有關係呢？

事實上，卡丹諾早已遇到虛數根的問題。他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：「把 $$10$$ 分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為 $$40$$……因此，將分成的兩部分應是 $$5+\sqrt{-15}$$ 和 $$5-\sqrt{-15}$$。」

並且進一步分析說：「讓我們解除思想的束縛，用 $$5+\sqrt{-15}$$ 乘 $$5-\sqrt{-15}$$，我們便得到 $$25-(-15)$$，也就是 $$25+15$$。因此乘積為 $$40$$。」

然後，他又寫道：「算術就是這樣的精巧奇妙，它最根本的特點，正如我所說過的，是既精妙又無用。」雖然卡丹諾已經遇到虛數根，但卻未能解決三次方程所謂「不可約」（即判別式為負）的情形。有關此一困惑，數十年後另一個義大利數學家邦貝力 (R. Bombelli, 1526-1573) 提出了他的解決之道。

邦貝力認真看待虛數，運用它解出不可約三次方程，並建立了虛數的運算法則，這是人類對於數目（number）認識的一大進步，儘管他仍認為虛數是人為而非真實的數。針對三次方程 $$x^3=15x+4$$ 的兩個解：$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 和 $$4$$ 的關係，他暫時拋開當時數學家對虛數 $$\sqrt{-1}$$ 的成見，提出了不受侷限的奇妙想法。

由於 $$2+\sqrt{-121}$$ 和 $$2-\sqrt{-121}$$ 只是運算符號上的差異，所以，他大膽地令：

$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=a+\sqrt{-b}$$ 和 $$\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=a-\sqrt{-b}$$，

再將 $$a+\sqrt{-b}$$ 開立方的結果與 $$2+\sqrt{-121}$$ 對照，可得 $$a=2$$，$$b=1$$，

然後，檢驗出下列事實之成立：

$$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=(2+\sqrt{-1})+(2-\sqrt{-1})=4$$

如此，邦貝力不但賦予了虛數 $$\sqrt{-1}$$ 的意義，並且他還發展出虛數 $$\sqrt{-1}$$ 的運算法則，奠定了虛數理論的基石。運用現在的符號 $$i=\sqrt{-1}$$（歐拉在1748年提出）表示，這些法則有：$$(\pm{1})i=\pm{i}$$，$$(\pm{1})(-i)=\mp{i}$$，$$(\pm{i})(+i)=\mp1$$，$$(\pm{i})(-i)=\pm1$$，也有虛數的加法與乘法運算，例如：$$8i+(-5i)=+3i$$ 和 $$(\sqrt[3]{4+\sqrt{2}i})(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}i})=\sqrt[3]{8+11\sqrt{2i}}$$。

邦貝力深刻洞悉了虛數 $$\sqrt{-1}$$ 在代數中所扮演的角色，不愧為十六世紀義大利的偉大數學家之一。

當然，要讓數學家就此接受虛數是不容易的。正如吉拉德雖然認為要接受虛數，但卻將它視為「形式」上的根；笛卡兒一樣也難以接受虛數，認為是它並不是數。那麼是何種理由，奠定了虛數在數學王國裡的地位呢？

在經過歐拉、高斯和柯西等人的努力，除了虛數可以滿足數學家天生對完美的渴望外（例如：滿足代數基本定理），更重要的是它相當「有用」。正如吉拉德 (A. Girard, 1595-1632) 所說：「有人可以說這些不可能的解有什麼用？我回答：它有三方面的用處－一是因為它能肯定一般法則；二是它們有用；再有，還因為除此之外再沒有別的解。」

總之，它的誕生與發展，倒真地呼應了克萊恩 (F. Klein) 所言：「虛數……其強自佔入算術計算也，不特未嘗獲得世人之承諾，抑且與算學家之始願相違，但終以日積月累之功，在其表現效能範圍之內，流行日廣。」這種顯然不是基於邏輯演繹而是源自有用的現象，常見於數學史發展過程，虛數從誕生到被接受為合法的數目 (legitimate number)，就是最好的一個見證。

連結：虛數√-1的誕生-下

參考資料：

1. 李文林主編 (1998).《數學珍寶》，北京：科學出版社。
2. 英家銘 (2008).〈虛話實說：根號 的故事〉，台灣數學博物館科普特區「深度書評」。
3. Dunham, W. (1998).《天才之旅》，台北：牛頓出版社。
4. Kline, M. (1983).《數學史》，台北：九章出版社。
5. Glas, E. (1988). “Fallibilism and the Use of History in Mathematics Education”, Science & Education 7: 361-379.
6. Kleniner, I. (1988). “Thinking the Unthinkable: The Story of Complex Numbers (with a Moral)”. Mathematics Magazine October. 583-592.
7. Nahin. P. J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of . New Jersey: Princeton University Press.（本書中譯本：《虛數的故事》，上海教育出版社，2008）