利用Gnuplot軟體繪製似氫原子 $$sp^2$$ 的混成軌域（下）(H Hydrogen-like $$sp^2$$ hybrid orbital plots using gnuplot (II))
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏
連結：利用Gnuplot軟體繪製似氫原子sp2的混成軌域(上)
在圖二的指令集中，我們已經將 $$2s$$、$$2p_x$$、$$2p_y$$、$$sp^2(1)$$、$$sp^2(2)$$、$$sp^2(3)$$ 等 $$6$$ 個波函數分別依據（式-1）至（式-6）建置完成，分別以 s2orbital(x,y)、p2xorbital (x,y)、p2yorbital (x,y)、sp21orbital(x,y)、 sp22orbital(x,y) 、sp23orbital(x,y) 表示。
利用Gnuplot軟體繪製似氫原子 $$sp^2$$ 的混成軌域（上）(H Hydrogen-like $$sp^2$$ hybrid orbital plots using gnuplot (I))
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏
在量子化學的課程中，有關混成原子軌域(hybrid atomic orbitals)的部分，由於無可避免的必須探討複雜的數學方程式，加上没有相對應具體可觀察的軌域形狀、徑向分佈圖或等高線圖等，可隨需要即時翻轉角度、改變大小來做輔助，因此對於學子而言顯得格外抽象及困難。教師此時若能適時提供一種簡易學習、功能強大的繪圖軟體，勢必讓學習原子軌域有事半功倍之效，更能因此多學會一種繪圖技巧，相信對日後的研究工作有如虎添翼之便。
似氫原子2s軌域的解析（下） Analytical 2s orbital of hydrogen like atom (II)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
連結： 似氫原子2s軌域的解析（上）
二、電子出現在似氫原子 $$2s$$ 軌域節球面以內的機率有多少
欲求圖四中電子出現在 $$2s$$ 軌域節球面以內的機率有多少？則必須對徑向機率函數從 $$0$$ 積分到 $$2a_0/Z$$，即求圖四中第一個小山丘的面積，可表示如下：
\begin{array}{ll} \displaystyle\int^{2a_0/Z}_{0}4\pi|\varphi_{2s}|^2r^2dr&=\displaystyle\frac{Z^3}{8a^{3}_0}\int^{2a_0/Z}_{0}(2-\frac{Zr}{a_0})^2r^2e^{-\frac{Zr}{a_0}}dr\\&=\displaystyle\frac{Z^3}{8a^{3}_0}\int^{2a_0/Z}_{0}(4r^2-\frac{4Zr^3}{a_0}+\frac{Z^2r^4}{a^{2}_0})e^{-\frac{Zr}{a_0}}dr\end{array}
似氫原子2s軌域的解析（上） Analytical 2s orbital of hydrogen like atom (I)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
高中化學教授原子軌域及混成軌域時，總會有好奇的學生抛出似懂非懂的問題：$$1s$$ 和 $$2s$$ 軌域均為圓球的形狀，它們除了大小不同以外，其他都一樣嗎？電子隨徑向(radial)呈現不均勻的分佈，也只會出現一個最可能半徑(the most probable radius)嗎？
2sp$$^2$$ 混成軌域的解析 (下) The analysis of 2sp$$^2$$ hybrid orbitals (III)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
三、$$2sp^2$$ 軌域的等高線圖
圖一中三個 $$2sp^2$$ 軌域的等高線圖，若依據(式-4)、(式-6)和(式-7)實際在Excel軟體上繪圖，其所得的結果是不是與圖一相同？ 若將 $$2s$$、$$2p_y$$ 的波函數代入混成軌域(式-4)中，可得下式：
$$\begin{multline*}\varphi_{2sp^2(1)}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\frac{1}{4(2\pi)^{\frac{1}{2}}}(\frac{Z}{a_0})^{\frac{3}{2}}\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)e^{-\frac{Zr}{2a_0}}\right]\\+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\left[\frac{1}{4(2\pi)^{\frac{1}{2}}}(\frac{Z}{a_0})^{\frac{5}{2}}re^{-Zr/2a_0}\sin\theta\sin\phi\right] \end{multline*}$$
2sp$$^2$$ 混成軌域的解析 (中) The analysis of 2sp$$^2$$ hybrid orbitals (II)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
二、$$2sp^2$$ 軌域波函數的表示法
由量子化學可知，當二個波函數同號相加時會有加成的效果，異號時波函數會相互抵消。因此若欲將 $$2s$$ 和 $$2p_y$$、$$2p_x$$ 軌域組合 $$3$$ 個等價的 $$sp^2$$ 混成軌域，如圖一下圖所列三者疊加的圖形，則必須對這 $$3$$ 個原子軌域做線合性組合(linear combination of atomic orbitals，LCAO)。
2sp$$^2$$ 混成軌域的解析 (上) The analysis of 2sp$$^2$$ hybrid orbitals (I)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
高中化學教材的內容雖未涉及波函數及薛丁格方程式(Schrödinger equation)，但是教授原子軌域及混成(hybridization)軌域時，卻無可避免的必須以示意圖的方式，表達原子軌域的形狀，進而利用各類原子軌域，以相互加成或相減的結果，畫出混成軌域，其間刻意忽略 $$ns$$ 波函數具有正負值的事實。這樣的做法雖然可免去很多煩雜的說明，避開艱澀的公式推導，但是没有正負值的波函數做混成處理時，很難說明為何會得到線形、平面三角形及四面體的混成軌域？