平面波

平面波(plane wave)
國立彰化師範大學物理系楊孟欣/國立彰化師範大學物理系洪連輝教授責任編輯

在波傳遞的物理學中（尤其是電磁波），平面波是一種波前（表面為某固定相位），永遠平行於固定振幅平面，並垂直於相速度向量。這類的術語被擴大使用於描述局部範圍內表現接近平面波的波，例如一束天線產生的場，在距離很遠的地方近似於平面波，也就是說這種射線在射線光學有效的範圍內（在均勻的介質內傳輸而且長度單位遠大於波長），和似平面波局部相等。

數學上平面波方程式的解：

$$u(x,t)=ae^{i(kx-\omega t)}$$

$$i$$：虛數、$$k$$：波向量、$$\omega$$：角頻率

$$a$$（複數）振幅（上面的平面波形式為物理上通用方式，在電機上則以 $$-j$$，取代 $$i$$）通常取上式的實部解作為波方程式的解，這是在均勻介質中純量波方程式的解，至於向量波方程式，例如電磁輻射或彈性體中的波這些解在均勻介質中是相似的：$$e^{i(kx-\omega t)}$$ 乘上常數向量 $$a$$（例如在電磁學中 $$a$$ 是電場、磁場或向量位），橫波是一種振幅向量垂直於波向量的波（在均向介質中的電磁波），而縱波則是振幅向量平行於波向量的波（氣體或液體中的聲波）。

在方程式中，函數 $$\omega(k)$$ 為介質的發散關係比值 $$\frac{\omega}{|k|}$$，提供相速度大小；$$\frac{d\omega}{dk}$$ 則提供了相速度的方向，在均向介質中，若折射率為 $$n$$，則相速度即為 $$\frac{c}{n}$$（只有在比率與頻率無關時，才與群速度相等）。

平面波的解的形式為平移對稱的一般結果，更普遍的結果則為週期結構（不相連接的平移對稱），解以 Bloch 波的形式表現，不但最著名於晶體原子物質中，而且在光子晶體和其他週期波函數中。更一般的推廣，則為在沿 $$x$$ 方向均勻的結構（如 $$x$$ 方向波導管），解的形式為 $$e^{i(kx-\omega t)}$$ 乘上振幅函數 $$a(y,z)$$。

參考資料

1. http://en.wikipedia.org:80/wiki/Plane_wave