餘角關係 (Trigonometric Identities for Complementary Angles)

餘角關係 (Trigonometric Identities for Complementary Angles)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在 $$\Delta{ABC}$$ 中，若 $$\angle{ABC}=90^\circ$$，則 $$\angle{A}+\angle{B}=90^\circ$$，如下圖一所示：

圖一：現行高中數學教科書，銳角三角函數的定義是建立在直角三角形上。

根據三角函數的基本定義，

因為 $$\angle{A}$$ 的對邊 $$\overline{BC}$$ 恰為 $$\angle{B}$$ 的鄰邊，且 $$\angle{B}$$ 的對邊 $$\overline{AC}$$ 恰為 $$\angle{A}$$ 的鄰邊。則

$$\displaystyle\sin{A}=\frac{a}{c}=\cos{B}$$，$$\displaystyle\cos{A}=\frac{b}{c}=\sin{B}$$，$$\displaystyle\tan{A}=\frac{a}{b}=\cot{B}$$，

$$\displaystyle\cot{A}=\frac{b}{a}=\tan{B}$$，$$\displaystyle\sec{A}=\frac{c}{b}=\csc{B}$$，$$\displaystyle\csc{A}=\frac{c}{a}=\sec{B}$$。

以上這六個恆等式稱為三角函數的餘角關係。因為 $$\angle{A}$$ 和 $$\angle{B}$$ 互為餘角，我們稱正弦函數（sine）與餘弦函數（cosine）兩函數具有互餘關係、正切函數（tangent）與餘切函數（cotangent）兩函數具有互餘關係、正割函數（secant）與餘割函數（cosecant）兩函數具有互餘關係。透過餘角的關係，我們可以快速得到任何角其餘角的六個三角函數值。

例如：直角 $$\Delta{ABC}$$ 中，$$\angle{BAC}=30^\circ$$，在 $$\overline{CA}$$ 上取一點 $$D$$，使 $$\overline{AB}=\overline{AD}$$，利用圖二，求 $$15^\circ$$的六個三角函數值，進而求得 $$75^\circ$$ 的六個三角函數值。

圖二：$$\Delta{DBC}$$為$$15^\circ-75^\circ-90^\circ$$直角三角形。

解答：令 $$\overline{BC}=1$$，利用直角三角形 $$30^\circ-60^\circ-90^\circ$$ 的邊長比例關係，

得 $$\overline{AC}=\sqrt{3}$$ 且 $$\overline{AB}=2$$，又 $$\overline{AB}=\overline{AD}$$，得 $$\overline{AD}=2$$，

利用畢達哥拉斯定理得 $$\overline{BD}=\sqrt{{\overline{CD}}^2+{\overline{BC}}^2}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$$，

根據三角函數的基本定義得：

$$\displaystyle\sin{15}^\circ=\frac{\overline{BC}}{\overline{BD}}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$。

$$\displaystyle\cos15^\circ=\frac{\overline{CD}}{\overline{BD}}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$。

$$\displaystyle\tan15^\circ=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$$。

$$\displaystyle\cot15^\circ=\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}=\frac{2+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}$$。

$$\displaystyle\sec15^\circ=\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$$。

$$\displaystyle\csc15^\circ=\frac{\overline{BD}}{\overline{BC}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{1}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$$。

透過餘角關係，我們快速求得 $$75^\circ$$ 的六個三角函數值，

$$\displaystyle\sin75^\circ=\sin(90^\circ-15^\circ)=\cos15^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$。

$$\displaystyle\cos75^\circ=\cos(90^\circ-15^\circ)=\sin15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$。

$$\displaystyle\tan75^\circ=\tan(90^\circ-15^\circ)=\cot15^\circ=2+\sqrt{3}$$。

$$\displaystyle\cot75^\circ=\cot(90^-15^\circ)=\tan15^\circ=2-\sqrt{3}$$。

$$\displaystyle\sec75^\circ=\sec(90^\circ-15^\circ)=\csc15^\circ=\sqrt{6}+\sqrt{2}$$。

$$\displaystyle\csc75^\circ=\csc(90^\circ-15^\circ)=\sec15^\circ=\sqrt{6}-\sqrt{2}$$。

這種類似的應用可延伸至特別角 $$18^\circ-72^\circ$$ 關係。餘角關係的另一個功能則呈現在廣義角的三角函數值上，例如：求 $$\sin225^\circ$$ 的值？可利用廣義角性質與餘角關係，即

$$\begin{array}{ll}\sin255^\circ &=\sin(180^\circ+75^\circ)=-\sin75^\circ\\&=-\sin(90^\circ-15^\circ)=-\cos15^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{array}$$

另外，Sidney H. Kung 被 Proof without WordsII：More Exercises in Visual Thinking 一書所收入的正弦的二倍角公式  $$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$ 之不言而喻證明，其過程就巧妙地利用 $$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$$ 餘角關係式：

$$\displaystyle\frac{\sin2\theta}{2\sin\theta}=\frac{\sin(\pi/2-\theta)}{1}=\cos\theta$$

$$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$

圖三

參考文獻：

• Nelson, Roger B. (2000).Proof without WordsⅡ:More Exercises in Visual Thinking, Washington D.C.：The Mathematical Association of America, p. 49.