四方連塊的正方形拼圖遊戲

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四方連塊的正方形拼圖遊戲 (The Puzzle of Tetrominoes)
國立臺中女中數學科賴信志老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要:多方塊的矩形拼圖(Tiling the rectangle)是一個有趣而常見的拼圖遊戲,它的基本規則是:每一種等面積的多方連塊至少都用一個來拼一個矩形。「四方連 塊」(tetrominoes)是指四個單位正方形以邊與邊相連接而成,並扣除圖形旋轉、鏡射,所形成之五種不同形狀的幾何平面圖形。本文探討四方連塊的 拼圖問題。

多方塊的矩形拼圖(Tiling the rectangle)是一個有趣而常見的拼圖遊戲,它的基本規則是:每一種等面積的多方連塊至少都用一個來拼一個矩形。「四方連塊」(tetrominoes)是指四個單位正方形以邊與邊相連接而成,並扣除圖形旋轉、鏡射,所形成之五種不同形狀的幾何平面圖形,如下圖所示,分別為 L 型、Z 型、O 型、I 型、T 型。

在四方連塊的拼圖遊戲中,我們已經知道:若每個四方連塊恰用一個並無法拼出一個面積為 20 單位的矩形;若是每種四方連塊恰用二個,我們可以拼出 5\times 84\times 10 的矩形。然而能否拼出恰用 9 個四方連塊組成最小可能的 6\times 6 正方形?這個問題的答案顯然是肯定的,只要嚐試著動手拼拼看,應該馬上可以得到很多種不同的拼法,下圖為 O 型、I 型、T 型、Z 型 各 2 個和 1 個 L 型的例子:

幾次嚐試之後,我們一直無法拼出一個最極端狀況的拼法,也就是:是否能用 5 個同一型的四方連塊和其他四型的四方連塊各 1 個來拼成 6\times 6 正方形?這個問題的解答可以藉由一個拼多方塊常用的手法加以解決,首先將 6\times 6 正方形塗成黑白相間的棋盤(如下圖),

而將這五個類型的四方連塊放在此棋盤上時, L 型、Z 型、O 型、I 型恰各覆蓋 2 黑格和 2 白格,但 T 型只可能覆蓋 1 黑格、3 白格或是 3 黑格、1 白格,由於 6\times 6 正方形棋盤上黑、白格數相同,所以若要能將此棋盤蓋滿,T 型四方連塊的個數必需為偶數,因此不可能用 5 個同一型的四方連塊和其他四型的四方連塊各 1 個來拼成 6\times 6 正方形。藉此我們也可以知道這個拼圖遊戲中的 T 型個數只可能是 4 個或 2 個。

在諸多四方連塊拼成 6\times 6 正方形的方法中,我們可以發現有一些拼法可以將 6\times 6 正方形分割成兩個較小的矩形,下圖為其中一個例子(6\times 46\times 2):
在這個例子中,可以透過將 6\times 46\times 2 矩形旋轉 180^\circ、水平及鉛直鏡射來重新組合成 6\times 6 的正方形,扣除組合成大正方形後本身圖形可由旋轉、鏡射變換而成的相同圖形,共可組合出 8 種不同拼法。所以當我們進一步想求出用四方連塊拼出  6\times 6 正方形的所有可能拼法數時,可把可能的拼法分成兩類,一類的拼法是可以將 6\times 6 正方形拆成更小的兩個矩形,另一類則是不行。若要將 6\times 6 的正方形拆成兩個矩形,這兩個小矩形的面積必定是 4 的倍數,故只可
能拆成 6\times 46\times 2(或 6\times 26\times 4)兩個矩形,而 6\times 2 的矩形的拼法只有如下 4 種(將旋轉、鏡射後相同的圖形視為同一種):

由左至右分別為:3 個 O 型、1 個 O 型 2 個 L 型、1 個 O 型 2 個 I 型、1 個 I 型 2 個 L 型

上面的 46\times 2 的矩形中皆不含 T 型和 Z 型,所以 6\times 4 的矩形可依包含的四方連塊種類分成:只含 T,Z, L 型、T,Z,I 型、T,Z,O 型、T,Z,L,I 型、T,Z,L,O 型、T,Z,I ,O 型及T,Z,I,O,L 型;而這七個種類不一定都會存在,經檢驗可知只含 T,Z,O 和只含 T,Z,I,O 的 6\times 4 矩形是不可能存在的,而在剩下 56\times 4 矩形中,有一些又可再拆成兩個更小的矩形,討論可能的拆法有:拆成  5\times 41\times 44\times 42\times 43\times 43\times 4,在需要含 T 型和 Z 型的條件下,可構成小矩形的種類並不多,讀者可以試著把所有的可能情況找出來。利用拆成更小矩形的方式可以更有效率地計算可能的拼圖方式,例如下圖由 2\times 44\times 46\times 2 矩形組合出 6\times 6 正方形:

因為 2\times 4 矩形有原圖形及水平鏡射兩種圖形,4\times 4 矩形有原圖形及水平鏡射的圖形並皆可再旋轉 90^\circ180^\circ270^\circ,所以可組合出 2\times 2\times 4=16 種不同的 6\times 4 矩形,又這 16 個矩形除了原圖形,皆可旋轉 180^\circ 或作鉛直鏡射,加上 6\times 2 矩形有原圖形和旋轉 180^\circ 的圖形,故有 16\times 3\times 2 = 96 種不同方式組合出 6\times 6 正方形。要計算以四方連塊(每種類型至少一個)組成 6\times 6 正方形拼圖方式的方法數,並不是一件容易的事,不過我們應該可以利用上敘的分類方式,加上「人工檢驗」或利用電腦檢驗,進一步把拼出 6\times 6 正方形的方法數計算出來。


參考資料

  1. http://en.wikipedia.org/wiki/Tetromino
  2. S. W. Golomb, Checker Boards and Polyominoes, The American Mathematical Monthly, Vol. 61,No. 10(Dec., 1954), pp. 675-682.
  3. 潮音國小,天旋地轉難成矩,連塊方略破謎局,中華民國第四十七屆中小學科學展覽會作品說明書

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