機率空間（4）機率空間之例（Probability space-4. Examples of probability space）

機率空間（4）機率空間之例（Probability space-4. Examples of probability space）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：機率空間（3）機率空間

摘要：延續上篇對機率空間的定義，這裡舉例討論多種不同的機率空間。

例1: 設 $$\Omega=\{$$正面、 反面$$\}$$, 則可產生那些 $$\sigma$$-體?

解:只有 $$\{\varnothing, \Omega\}$$ ㄧ個。

例2: 設 $$\Omega=\{1,2,3\}$$, 則可產生那些 $$\sigma$$-體?

解:首先 $$\{\varnothing,\Omega\}$$，及 $$\{\varnothing,\Omega,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\}$$

是兩個最先能被寫出的, 前者為最小, 後者為最大。

其次一 $$\sigma$$-體,若包含 $$\{1\}$$, 必也包含其餘集 $$\{2,3\}$$, 可檢驗 $$\{\varnothing,\Omega,\{1\},\{2,3\}\}$$ 為一$$\sigma$$-體。

同理 $$\{\varnothing,\Omega,\{2\},\{1,3\}\}$$，及 $$\{\varnothing,\Omega,\{3\},\{1,2\}\}$$ 亦皆為$$\sigma$$-體。

這 $$5$$ 個之外, 有沒有其他的 $$\sigma$$-體呢?

若包含 $$\{1\}$$ 及 $$\{2\}$$, 必包含聯集 $$\{1,2\}$$,而餘集 $$\{3\}$$ 也須在其中。

有$$\{1\}$$, $$\{2\}$$ 及 $$\{3\}$$,就導致所有 $$\Omega$$ 的子集都須在其中了, 這就是前述最大 $$\sigma$$-體。

所以沒有其他的了, 共只有 $$5$$ 個由 $$\Omega$$ 所產生之 $$\sigma$$-體。

例3:設 $$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$$,已知一 $$\sigma$$-體中有一元素 $$\{1,2,3\}$$,試寫出最小的這種 $$\sigma$$-體。

解: 由於有 $$\{1,2,3\}$$, 因此餘集 $$\{4,5,6\}$$ 亦須在其中。

可檢驗 $$\{\varnothing,\Omega,\{1,2,3\},\{4,5,6\}\}$$ 為一滿足所求之 $$\sigma$$-體。

附帶一提, 有沒有其他包含 $$\{1,2,3\}$$ 之 $$\sigma$$-體呢? 有的, 譬如說,若加入一個元素 $$\{4\}$$,

則得最小的 $$\sigma$$-體：

$$\{\varnothing,\Omega,\{1,2,3\},\{4,5,6\},\{4\},\{1,2,3,4\},\{5,6\},\{1,2,3,4,5,6\}\}$$

例4:設 $$\Omega=R=\{-\infty,\infty\}$$，令 $$B’$$ 表包含實數上所有開區間之最小的 $$\sigma$$-體。此最小的 $$\sigma$$-體如何產生？只要取所有這種 $$\sigma$$-體之交集即可。$$B’$$ 亦包含諸如 $$\{a\}$$, $$[a,b)$$, $$(a,b]$$, $$[a,b]$$, 其中 $$a<b$$,等集合。細節我們在此略去。$$B’$$ 乃當 $$\Omega$$ 為實數集合時,常取的 $$\sigma$$-體。

例5: 設 $$\Omega=\{1,2,3,4\}$$,且取 $$\sigma$$-體

$$\mathcal{F}=\{\varnothing,\Omega,\{1\},\{2,3,4\}\}$$

再令定義在 $$\mathcal{F}$$ 上的函數 $$P$$ 為

$$P(\varnothing)=0,~P(\Omega)=1,~P(\{1\})=0.3,~P(\{2,3,4\})=0.7$$

可驗證 $$P$$ 為一機率函數。因此 $$(\Omega, \mathcal{F},P)$$ 便構成一機率空間。

在上例中, 我們並不知 $$\{2\}$$, $$\{3\}$$, $$\{4\}$$ 等的機率。因三者皆不屬於 $$\mathcal{F}$$, 不為事件。

事實上, $$\Omega$$ 共有 $$16$$ 個子集, 其中有 $$12$$ 個因皆不屬於 $$\mathcal{F}$$ ,故不用給其機率值。

例6: 投擲一銅板 $$n$$ 次, 觀測所得之正面數,則 $$\Omega=\{0,1,2,\cdots,n\}$$。

令 $$\mathcal{F}$$ 表 $$\Omega$$ 之所有子集之集合, $$\mathcal{F}$$ 中共有 $$2^{n+1}$$ 個元素。

再令 $$P(\{i\})=p_i,\ i=0,1,\cdots,n$$, 其中 $$p_i$$ 滿足$$\sum^n_{i=0}p_i=1$$。

又對 $$\forall A\in\mathcal{F}$$, 令 $$P(A)=\sum_{i\in A}p_i$$，則 $$\{\Omega, \mathcal{F}, P\}$$ 構成一機率空間。

上例提供一個對可數的集合(有限或無限皆可),常見的定義機率空間之方式。 見下例。

例7:令 $$\Omega=\{\omega_1, \omega_2,\cdots\}$$,$$\mathcal{F}$$ 取為 $$\Omega$$ 之所有子集之集合。

又令函數 $$f(\omega_i)\ge 0,~i\ge 1,~\sum_{i=1}^{\infty}f(\omega_i)=1$$

再令機率函數 $$P(A)=\sum_{\omega\in A}f(\omega),~A\in\mathcal{F}$$

則 $$(\Omega,\mathcal{F},P)$$ 構成一機率空間。對這種 $$\Omega$$ 為可數的集合,稱為離散型的機率空間。

假設投擲一公正的骰子, 並觀測所得點數。則對應上例, $$\displaystyle f(i)=\frac{1}{6},~i\in\Omega={1,2,3,4,5,6}$$

假設投擲一出現正面機率為 $$\frac{1}{3}$$ 之銅板, 各次投擲間假設相互獨立,直到出現一個正面才停止, 並記載總共之投擲數。

則對應上例, $$\displaystyle f(n)=(\frac{2}{3})^{n-1}\frac{1}{3},~n\ge 1$$

在例7中, 如果是投擲一出現正面機率為 $$p$$ 之銅板,且各次投擲間假設相互獨立, 則

$$f(i)=\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i},~i\in\Omega={0,1,\cdots,n}$$

例8:設 $$\Omega=R$$, 取 $$\mathcal{F}=B’$$,又令函數 $$f:R\rightarrow R$$, 且滿足 $$f(x)\ge 0,~\int_{-\infty}^{\infty} f(x)d(x)=1$$

再令 $$P([a,b])=\int^b_af(x)dx,a<b$$。 則 $$(\Omega,\mathcal{F},P)$$ 即構成一連續型的機率空間。

這種函數不少, 例如

$$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)},~x\in R$$

$$\displaystyle f(x)\frac{1}{2}e^{-|x|},~x\in R$$

連結：機率空間（5）以機率之名

參考資料：

1. 黃文璋 (2003). 數理統計。華泰文化事業股份有限公司，台北。