等加速運動

等加速運動 (Uniformly Accelerated Motion)
國立臺灣大學物理系簡嘉泓

等加速運動為物理學上的運動型態之一，等加速運動有兩個特性：運動軌跡為直線、加速度為定值。我們知道加速度為一向量，向量相等的條件為方向及大小都相同，所以等加速度運動亦即加速度之方向與大小皆不隨時間改變之運動。

公式推導

由加速度為定值這項特性，我們可以推導出等加速度運動的幾項基本公式：由 $$a-t$$ （加速度-時間）圖（如圖一）可得速度的變化量 $$\Delta v=at$$ ─ 式 $$(1)$$，而以 $$v_0$$ 為初始速度，$$v_f$$ 為最終速度，可得 $$v_0+\Delta v=v_f$$ ─ 式 $$(2)$$。

作者提供

進一步由 $$v-t$$ （速度-時間）圖（如圖二）可得位移 $$s=v_0t+\frac{1}{2}\Delta vt=v_ot+\frac{1}{2}at^2$$ ─ 式 $$(3)$$。

將式 $$(2)$$ 平方並將式 $$(1)$$ 及式 $$(3)$$ 帶入可得：

$$(v_o+\Delta v)^2=v_f^2$$

$$\begin{array}{ll}v_f^2 &=(\Delta v)^2+2v_0\Delta v+v_0^2 \\&=a^2t^2+2v_0at+v_0^2=2a(v_ot+\frac{1}{2}at^2)+v_o^2\\&=2as+v_o^2\end{array}$$

$$\begin{cases}\Delta v=at&(1)\\v_f=v_0+\Delta v&(2)\\s=v_ot+\frac{1}{2}at^2&(3)\\v_f^2=v_0^2+2as&(4)\end{cases}$$ 此四式即為等加速度之基本公式

我們也可利用微積分來推導式 $$(3)(4)$$：

將 $$\displaystyle\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v$$ 將 $$\mathrm{d}t$$ 移項至右式  可得 $$\mathrm{d}x=v\mathrm{d}t$$

將上式積分 $$\int_{x_0}^{x_f}\mathrm{d}x=\int_{0}^{t}v\mathrm{d}t$$    （$$x_0$$ 及 $$x_f$$ 為初位置及末位置），得如下：

$$\displaystyle \int_{x_0}^{x_f}\mathrm{d}x=\int_{0}^{t}(v_0+at)\mathrm{d}t\rightarrow x_f-x_0=v_ot+\frac{1}{2}at^2\rightarrow s=v_ot+\frac{1}{2}at^2~~~~~~(3)$$

由 $$\displaystyle a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}v$$ 將 $$\mathrm{d}x$$ 移項至左式得 $$v\mathrm{d}v=a\mathrm{d}x$$

將上式積分 $$\displaystyle\int_{v_o}^{v_f}v\mathrm{d}v=\int_{x_o}^{x_f}a\mathrm{d}x\rightarrow \frac{1}{2}(v_f^2-v_0^2)=a(x_f-x_0)=as$$

移項得 $$v_f^2=v_0^2+2as~~~~~~~~~(4)$$

物理上之應用

1. 自由落體 (free-falling object)

使靜止物體從空中自由落下，此時即為初速度為 $$0$$，加速度為 $$g(9.8~m/s^2)$$ 之等加速度運動，這是因為接近地表之重力加速度可視為定值。而在平拋運動中，因其水平方向加速度為 $$0$$，亦為等加速度運動的一種。但現實中因為空氣阻力的影響，會使得自由落體最後達到一終端速度 (terminal velocity)，而非等加速度運動。

將上述條件帶入 $$\displaystyle s=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$ 中，

可得到自由落體之及平拋運動之垂直方向位移為 $$\displaystyle s=\frac{1}{2}gt^2$$。

圖三 （作者提供）

2. 拋體運動

理想的拋體運動（如圖四所示），僅考慮重力因素，假設拋出速度為 $$v$$，則水平為等速運動，而垂直為等加速度，位置可寫成$$x =v(\cos \theta) t$$，垂直位置可寫成 $$y=v(\sin\theta) t-\frac{1}{2}gt^2$$，飛行時間$$(y=0)$$為 $$t=2v(\sin\theta )/g$$，則水平位移為

$$\displaystyle x=\frac{2v^2\sin\theta\cos\theta}{g}=\frac{v^2\sin 2\theta}{g}$$

可知 $$\theta$$ 為 $$45$$ 度時有最遠距離。

圖四 （作者提供）

其他應用

理想上，帶電粒子在均勻電場中的運動型式亦為等加速度運動，湯姆森 (J.J. Thomson)發現電子所用的實驗裝置便應用到這個特性。

常見誤解

等速率圓周運動 (uniform circular motion)，雖然向心加速度大小固定，但由於其加速度方向不斷隨時間變化，所以屬於變加速度運動。

等加速運動的實驗─滑車打點計時（圖五）

此實驗是將滑車置於斜坡上，以滑車之下滑力與摩擦力相抵消後的合力做為加速度的來源，並由滑車後方綁著的紙帶配合打點計時器紀錄其各時間點之位置，並進一步求得其加速度為定值。

圖五 （作者提供）

綜觀上述，等加速度運動在非理想的狀況下並不常見，但卻是最容易分析與探討的運動模型之一，其應用也相當廣泛，為相當基礎而重要的運動模型。