腹線與節線

Posted on 2013/10/23 in 波, 波動, 物理 with 有 1 則迴響。 38,517 views

腹線與節線 (antinodal line, nodal line)
國立臺灣大學物理系李宛儒

當兩個同調點波源互相干涉 (Interference)時，會出現穩定的干涉圖形（如圖一），其中明暗交互出現的線條便是腹線(antinodal line) 與節線 ( nodal line)。腹線與節線可在水波槽干涉實驗中被觀察。

圖一（圖片來源：http://www.phy.ntnu.edu.tw/wiki/index.php/）

波的干涉指的是兩個以上的波通過同樣的空間時，互相疊加產生新的波形。干涉遵守疊加原理 (Principle of superposition)，當不同波通過同一個空間時，空間中每一個點所受到的影響是所有波在該處造成的影響之總和，在許多場合中，不同的波之間可視為彼此不會影響。

涉可分為建設性干涉和破壞性干涉，由兩波在空間中該點的相位差決定。若兩波峰/波谷同時到達空間中的一點（同相），該點會有最大振幅，是為建設性干涉；相反地，若一波的波峰與另一波的波谷同時到達一點（反相），則兩波對該點的影響相互抵消，稱為破壞性干涉。當兩個互相干涉波源所發射出來的波始終具有特定的相位關係時，稱之為同調波源。兩個同調波源干涉，則兩波在空間中任一點的相位差不隨時間改變，就會形成穩定的干涉圖形。

以兩同調之正弦波為例：

$$\begin{array}{ll}y_1=y_m\sin{(kx-\omega t)}&y_2=y_m\sin{(kx-\omega t+\varphi)} \end{array}$$

$$y=y_1+y_2=2y_m\cos{(\frac{1}{2}\varphi)}\sin{(kx-\omega t+\frac{1}{2}\varphi)}$$

在新疊加成的波 $$y$$ 中，振幅為 $$2y_m\cos{(\frac{1}{2}\varphi)}$$。

當 $$\varphi=0$$，兩波同相，$$2y_m\cos{(\frac{1}{2}\varphi)}$$ 有最大值，產生完全建設性干涉;

當 $$\varphi=\pi$$，兩波反相，$$2y_m\cos{(\frac{1}{2}\varphi)}$$ 有最小值，產生完全破壞性干涉。

在二維平面中，產生完全建設性干涉/破壞性干涉的點會彼此連接，交互出現，形成腹線與節線（腹線為建設性干涉，節線為破壞性干涉）。平面中任一點到與兩波源之間的距離差是為波程差，當兩同調波源之間沒有相位差時，若波程差為波長的整數倍，則該點相位差為零，產生腹線；若波程差是波長整數倍再加上半波長，相位差恰好為 $$180$$ 度，則會產生節線。在節線處由於破壞性干涉，看起來就如同沒有波通過一般。

腹線與節線的圖形是雙曲線，空間中任一點到固定兩點（波源）的距離差為定值所產生的曲線，正是雙曲線的定義。

以下為一個水波干涉的示意圖：

圖二（圖片來源：http://www.phy.ntnu.edu.tw/wiki/index.php/）

在兩波源中間，垂直於兩波源連線的中央線，實與腹線相同，為建設性干涉產生之處（波程差為零）。在中央現的兩邊，依序為第一節線、第一腹線、第二節線、第二腹線……

腹線與節線的數目由波長和波源間距決定。當 $$n\lambda<1/2$$ 兩波源間距 $$d<(n+1)\lambda$$ 時（$$\lambda$$：波長），兩側各會產生 $$n$$ 條腹線；當 $$(n-1/2)\lambda<1/2$$ 兩波源間距 $$d<(n+1/2)\lambda$$ 時，兩側各會產生 $$n$$ 條節線。

數目又間接影響了腹線與節線的疏密：當波長較大時，腹線與節線數目較少，間距較大，波長較小時間距則較密集，如圖三所示。