和算中的行列式(1)：創立者關孝和（Determinants in Wasan (1): Seki Takakazu, the originator）

和算中的行列式(1)：創立者關孝和
（Determinants in Wasan (1): Seki Takakazu, the originator）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

日本江戶時代 (1603-1867，即德川幕府時代) 的數學家在吸納了來自中國的數學知識後，獨立發展出許多新理論及新算法，後人就將這時期的數學稱為「和算」，這時期的數學家就稱為「和算家」。在這些和算家中，最突出也最具代表性的一位，就是關孝和。他不但被後世稱為「算聖」，更是世界上最早提出行列式的人之一。

我們對關孝和的生平所知不多，就連他是不是在1642年出生的，現在仍有爭議；不過，1708年離開人世，這殆無疑問。關孝和本姓內山，過繼給一位關姓武士後才改姓。關孝和是甲府宰相德川綱重及其子德川綱豐的家臣，擔任「勘定吟味役」的職位，相當於會計總管的職務。在德川綱豐成為德川將軍的養子後，關孝和也就成為幕府直屬的武士，官至「御納戶組頭」，負責幕府的用具。總而言之，關孝和在官途上並沒有什麼特別之處，就是以家臣的身份，為領主奉獻心力。

相較於平凡的仕途，關孝和在數學上的成果就更顯得非凡燦爛了。關孝和雖然只有二本數學著作出版：《發微算法》(1674年)與《括要算法》(1712年，死後由其弟子出版)，但其它的著作則是以手抄本的形式，在許多數學家間廣泛地流傳，其中最重要的三本是：

《解見題之法》：約1683年成書，包含許多幾何求積問題、圓錐曲線問題以及今日所稱的阿基米德螺線問題。

《解隱題之法》：著於1685年，內容是開方術及方程論。

《解伏題之法》：重訂於1683年，主要是解多元高次方程組。

這三本代表了關孝和的數學最高成就，後人常以《三部抄》通稱之。在《解伏題之法》中，關孝和為了求多元高次方程組的解，首先創立相當於今日行列式的算法，後世和算數學家就在關孝和的基礎上，推廣到高階行列式。數學史家徐澤林根據關孝和及其兩個弟子建部賢明、建部賢弘合著的《大成算經》(1683-1711)，分成八個部分概括關孝和的數學成就：

1. 創立「傍書法」，這是一種結合文字與算籌符合的代數表示法；
2. 求高次代數方程式的數值解法；
3. 消元（未知數）算法與行列式展開算法
4. 垛積招差（級數公式）；
5. 不定方程；
6. 無窮小算法；
7. 幾何學；
8. 組合分析。

由於關孝和在數學方面的傑出表現，吸引了許多人跟隨他或是他的弟子學習數學，因此被稱為「關流」，並成為江戶時期數學的最大流派，對日本近代數學的發展，有著深遠的影響。因而，有些日本數學史家就以《發微算法》出版的年代 (1674年)，作為日本數學自立發展的里程碑，而不再只是被動地吸收、消化傳自中國的數學。

連結：和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）

參考資料：

• 徐澤林 (2012). 《和算中源：和算算法及其中算源流》，上海：上海交通大學出版社。
• 徐澤林、周暢、夏青 (2013). 《建部賢弘的數學思想》，北京：科學出版社。
• 梁宗巨、王青建、孫宏安 (1995). 《世界數學通史》，瀋陽：遼寧教育出版社。
• 楊浩菊 (2004). 《行列式理論歷史研究》，西北大學博士論文。