和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）（Determinants in Wasan (2): Seki Takakazu’s Kai Fukudai no Ho (Methods of Solving Secret Questions), Part 1）

和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）
（Determinants in Wasan (2): Seki Takakazu’s Kai Fukudai no Ho (Methods of Solving Secret Questions), Part 1）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(1)：創立者關孝和

關孝和《解伏題之法》(1683年)的主要內容是解多元高次方程組。他提出了六個步驟：真虛、兩式、定乘、換式、生剋、寄消。其中的第五個步驟「生剋」，就相當於今日將行列式展開的過程，其「生」（以紅色表示）、「剋」（以黑色表示）就是在決定展開後每一項的正、負號。以今日的術語來說，關孝和在書中提出相當於將二至五階行列式展開的方法，並寫下二至四階的行列式展開式。

以二階行列式為例，關孝和呈現的方式如下表一，

然後說乙丙相乘是「生」，丁甲相乘是「剋」，

用今日符號表示的話，就是 

關孝和還用下圖一來表示這規則。

類似地，

關孝和三階行列式的表示方法就相當於今日的 ，見下表二及圖二，

照其定「生」、「剋」的方式，

就可得到展開式為：丙戊庚 + 己辛甲+ 壬乙丁 – 丙辛丁 – 己乙庚 – 壬戊甲，

這和今日的結果是相符的。

至於四階行列式的展開，關孝和的方法就變得比較複雜了，必須先推得相乘的順序，然後才能決定「生」、「剋」。雖然關孝和的結論是對的，但其方法並不能適用到五階以上的行列式，也就是說，關孝和用了錯誤的方法，筆者在此就不多做說明了。

由上可知，關孝和在《解伏題之法》中確實是提出了類似於今日行列式的概念。

但很特別地，關孝和並非從解多元一次聯立方程組得到這概念的，而是從解多元高次方程組發展出來的。他究竟是如何辦到的呢？

筆者以二元二次方程組 $$\left\{ \begin{array}{l} {a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1} = 0\\ {a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2} = 0\\ {a_2}{x^2} + {b_3}xy + {c_3}{y^2} + {d_3}x + {e_3}y + {f_3} = 0 \end{array} \right.$$ 為例作說明。

首先，將左方這個方程組看成三個以 $$x$$ 為未知數的一元二次方程式，

依升冪排列整理得 $$\left\{ \begin{array}{l} ({c_1}{y^2} + {e_1}y + {f_1}) + ({b_1}y + {d_1})x + {a_1}{x^2} = 0\\ ({c_2}{y^2} + {e_2}y + {f_2}) + ({b_2}y + {d_2})x + {a_2}{x^2} = 0\\ ({c_3}{y^2} + {e_3}y + {f_3}) + ({b_3}y + {d_3})x + {a_3}{x^2} = 0 \end{array} \right.$$；

其次，再將各項係數用甲、乙、…、庚表示，得 ，

這就相當於關孝和書中所寫的一式、二式、三式。

顯然可見，甲、乙、…、庚是未知數 $$y$$ 的多項式。

最後，利用加減消去法，把 $$x$$ 項與 $$x^2$$ 項消去：

(1)式乘以戊庚、(2)式乘以甲辛、(3)式乘以乙丁，

得 ，這三個作為「生」；

(1)式乘以丁辛、(2)式乘以乙庚、(3)式乘以甲戊，

得  ，這三個作為「剋」；

「生」、「剋」相消得：丙戊庚 + 甲己辛+乙丁壬 – 丙丁辛 – 乙己庚 – 甲戊壬= 0，

這也就是行列式 展開的結果。

別忘了，在這個例子中，甲、乙、…、庚都是未知數的多項式

因此， 其實是 $$y$$ 的方程式，所以，只要求出 $$y$$ 的值，再代回就能得到 $$x$$ 的值。求 $$y$$ 值（近似值）的方法，當時稱為「開方術」，這是數學家必備的技能之一，根本難不倒關孝和。

以上就是關孝和發展出類似於今日行列式概念的簡略說明。關孝和過人的巧思與洞察力，不得不教人佩服。雖然五階以上的行列式展開，關孝和的方法並不適用，但這無損他作為行列式先驅的地位。換個角度看，這個錯誤，讓後來的和算家有了研究的切入點，提出正確的展開方法，這就留待另一篇文章再作介紹了。

連結：和算中的行列式(3)：關孝和的《解伏題之法》（下）

參考資料：

• 林典蔚 (2012). 《關孝和《三部抄》之內容分析》，國立台灣師範大學碩士論文。
• 徐澤林 (2012). 《和算中源：和算算法及其中算源流》，上海：上海交通大學出版社。
• 徐澤林、周暢、夏青 (2013). 《建部賢弘的數學思想》，北京：科學出版社。
• 梁宗巨、王青建、孫宏安 (1995). 《世界數學通史》，瀋陽：遼寧教育出版社。
• 楊浩菊 (2004). 《行列式理論歷史研究》，西北大學博士論文。