淺談分配：甚麼是「機率分配」？

淺談分配：甚麼是「機率分配」？ (Distribution: “What is Probability Distribution” ?)
國立成功大學統計系/東吳大學財務工程與精算數學系專任統計助教 杜柏毅

簡單而言，機率分配 (probability distribution) 是一個「衡量特定事件發生機率」的函數。在真正開始談論機率分配之前，我們必須先對機率函數 (probability function) 有所了解：

假設有一隨實驗 (random experiment)，其可能結果之樣本空間為 \(S\)。樣本空間中元素之集合稱為事件 (event)，記為 \(C_i\)，將樣本空間中所有事件之集合定義為 \(B\)。則機率函數 (probability function) 為 \(B\) 中事件發生的機率。

我們可以把隨機實驗理解為一個工廠，工廠中所有不同的產品即是樣本空間 \(S\)。將不同的產品包裝在一起成為組合商品則是事件 \(C_i\)，而所有的組合商品的集合就可以被定義為 \(B\)。機率函數就是 \(B\) 裡面，不同的產品被銷售出去的機率。

舉一個跟機率分配相關的例子：

丟擲一顆公正骰子並觀察其結果，其可能的結果有 \(1,~2,~3,~4,~5,~6\)。由於是公正骰子，我們可知每個結果的發生的可能性均為 \(\frac{1}{6}\)。

以機率函數的定義為基礎，例子中的隨機實驗為「丟擲一顆公正骰子並觀察其結果」，樣本空間 \(S\) 為 \(\{1,~2,~3,~4,~5,~6\}\)。假設有一事件 \(C_1\) 為「丟擲骰子得到的結果為 \(1\)」，則我們用機率函數衡量 \(C_1\) 發生的機率，可得一介於 \(0\) 到 \(1\) 之間的實數  \(\frac{1}{6}\)。

其中，描述所有樣本空間中的樣本點 (sample point) 或是特定種類之事件所發生之機率的函數即稱為機率分配。

圖一、丟擲一次公正骰子的機率分配圖。（本文作者杜柏毅繪）

如果將分配中，各個樣本點對於其發生的機率作圖，則可得知分配的形狀，圖一即為丟擲一次公正骰子之結果的機率分配圖，這個分配則是我們之後會提到的一致分配 (uniform distribution) 的離散型，在後面的內容將以長條圖表達離散型分配圖；至於我們常聽說的常態分配，其在圖形上則是「鐘型」的表現，故又被稱為「鐘型分配」。

圖二、丟擲一次公正骰子其結果為1 之機率。（本文作者杜柏毅繪）

藉由圖形，我們可知道事件發生的機率就是機率圖形中曲線下的面積，圖二即為丟擲一次公正骰子，其結果為 \(1\) 之機率在分配圖上的表現；基於三大機率公設，我們也可知道曲線下的面積總和會等於 \(1\)，且曲線不會經過第三、第四象限（即事件機率不小於 \(0\)）。

在生活中我們也能找到很多隨機試驗，其結果無法用離散的實數來表達。例如某店家開始營業後，等待第一個客人上門發生所需的時間。由於時間是連續的，要將等待的時間轉換為實數表達就無法用離散的實數表達，反之則是用實數區間（\(0\) 到無窮大）來表達（一開門就有客人，開到天荒地老都沒有客人）。此即為連續型的機率分配。

連續型的機率分配能用一條或多條函數來表達。若我們將函數描繪在二維平面上，即為連續型機率分配圖，其函數曲線與 X 軸所夾的面積皆代表該結果發生的機率（圖三）。特別需要注意的是，對連續型的機率分配而言，單點的機率是沒有意義的；相對的，對於連續型機率分配，我們只能針對其結果的某區間討論其發生的機率。

圖三、開店後等待第一個客人上門的機率分配圖。（本文作者杜柏毅繪）

以等待的一個客人上門為例，要計算在「開店後 2 小時 0 分 0 秒時，第一個客人上門」的機率是無意義的（圖三，\(x = 2\) 曲線下面積為 \(0\)；可以理解為，要客人剛好在那個時間出現是不可能的）。然而，雖然無法找出單一時間點發生的機率，我們還是可以針對一定的時間區間做討論，例如「在開店後2小時至4小時間，第一個客人上門」的機率即是能夠透過運算而得知的（圖三，曲線下 \(x\) 由 \(2\) 至 \(4\) 的面積大小）。

參考文獻

1. Hogg, R. V., & Craig, A. T. (1970). introduction to mathematical statistics. 7th Ed. p.11
2. Hogg, R. V., Tanis, E., & Zimmerman, D. (2014). Probability and statistical inference. 9th Ed. p.49