地位量數（上）—平均數

地位量數（上）—平均數 (Measures of Location (I): Mean)
國立成功大學統計系 藍翊文

地位量數，又稱為集中量數，屬於摘要統計值的一種，主要目的是用單一數字描述資料的中心位置，但是針對不同的資料類型，選擇具有代表性之中心位置的方法不同，最常見的地位量數有平均數、中位數及眾數三類，本篇針對平均數進行介紹。

一、平均數 (mean):

(1) 算術平均數 (arithmetic mean)：將整組樣本加總後除上樣本數。

• 計算公式（未分組）：

樣本：\(\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum^n_{i=1}x_i}{n}\)（統計量），\(n=\) 樣本大小，\(x_i:\) 第 \(i\) 個觀察值

母體：\(\displaystyle\mu=\frac{\sum^N_{i=1}x_i}{N}\)（母數），\(N=\) 母體大小

例子：欲調查某國小 \(20\) 位同學的身高，資料如下:

\(120, 133, 140, 128, 123, 134, 138, 129, 141, 158,\)
\(130, 134, 144, 126, 139, 141, 150, 118, 124, 127\)

求出 \(20\) 位同學的平均身高。

解：\(\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum^n_{i=1}x_i}{n}=\frac{1}{20}(120+133+140+…+124+127)=133.85\)

• 計算公式（已分組）：

樣本：\(\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum^n_{i=1}m_i\times f_i}{n}\)，\(n=\) 組數，\(m_i:\) 第 \(i\) 組之組中點，\(f_i:\) 第 \(i\) 組之次數

母體：\(\displaystyle\mu=\frac{\sum^N_{i=1}m_i\times f_i}{N}\)

例子：將 \(30\) 位同學之段考成績表列如下（題目表中僅提供組界及次數），求平均：

表一、30 位同學之段考成績表。（本文作者藍翊文製）

解：先計算出組中點，並把組中點和次數相乘，\(\overline{x}=\frac{2265}{30}=75.5\)

(2) 修整平均數 (trimmed mean)：當一組樣本中出現極端值（即數字太大或太小）時，為避免整體平均受到極端值的影響，可考慮將極端值移除後，再將剩下資料進行平均，又稱為去頭尾平均數。例如欲保留資料中 \(90\%\) 的數值計算修整平均數，需將樣本中的數值由小排到大排序，並將最大的 \(5\%\) 及最小的 \(5\%\) 的數值移除後計算平均數，即為 \(90\%\) 修整平均數。

例子：\(15\) 位打靶者，每人有 \(13\) 發子彈，其中靶的次數如下:

\(13, 1, 5, 6, 7, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 6, 8\)

求 \(15\) 位同學之 \(70\%\) 修整平均數。

解：\(n = 13,~~~a = 0.3\)，應去頭尾的筆數各為 \(\left[\frac{0.3}{2}\times 13\right]=\left[1.95\right]=1\)（小數點後無條件捨去），意即去掉最大的數 \(13\)，及最小的數 \(1\)，剩下的 \(13\) 筆資料為:

\(4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 11, 12\)

因此 \(70\%\) 修整平均數為 \(\frac{4+5+5+…+8+11+12}{13}=7.1538\)

(3) 加權算數平均數 (weighted mean)：應用在觀測數值之重要性不相等的情況。

• 公式：\(\displaystyle \overline{x_w}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3+…+w_nx_n}{w_1+w_2+w_3+…+w_n}\)，\(w\)（權重）：用以區分觀察值重要性的數字。

例子：探討 A 棒球隊 \(3\) 位打擊手之打擊率，其打擊率與打及次數如下表所示，求 \(3\) 人之平均打擊率。

表二、三位打擊手打擊率表。（本文作者藍翊文製）

解：以打擊的次數作為權重，可得：

\(\displaystyle \overline{x_w}=\frac{30\times 0.35+10\times 0.22+20\times 0.27}{30+10+20}=\frac{18.1}{60}=0.30167\)

此三位打擊者的平均打擊率為 \(0.30167\)。

(4) 幾何平均數 (geometric mean)：將 \(n\) 個觀察值連乘後取 \(n\) 次方根，各數值中不可有任一個數為 \(0\) 或為負數，一般在數列成等比級數、計算比例、變動率時使用。

• 公式（未分組）：\(\displaystyle G=\sqrt[n]{\Pi^n_{i=1}x_i}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot … \cdot x_n}\)

例子：求\(3, 3, 9, 9, 27, 27\) 之幾何平均數。解：\(\sqrt[6]{3\times3\times9\times9\times27\times27}=\sqrt[6]{3^{12}}=9\)

(5) 調和平均數 (harmmonic mean)：為各數值倒數之算術平均數的倒數，又稱倒數平均數，數列中不能有任何一個數為 \(0\)，一般用在數列呈等差級數、平均速率的情況。

• 公式（未分組）：\(\displaystyle H=\frac{n}{\sum^n_{i=1}\frac{1}{x_i}}\)

例子：欲往返甲、乙兩地，兩地之距離為 \(10\) 公里，去程平均每小時走 \(3\) 公里，回程平均每小時走 \(5\) 公里，求全程往返的平均速率為何？

解：\(\displaystyle H=\frac{2}{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=3.75\) （公里/小時）

• 公式（已分組）：\(\displaystyle H=\frac{n}{\sum^n_{i=1}\frac{f_i}{m_i}}\)，\(f_i:\) 每組個數，\(m_i:\) 每組的組中點，\(n=f_1+…+f_n\)

圖一、算術平均數（綠線）、幾何平均數（紅線）與調和平均數（藍線）之關係。（本文作者藍翊文製）

連結：地位量數（下）—中位數、眾數

參考文獻

1. 楊明宗 (2012)。統計學上課講義。p.40-65
2. 畢勝 (2012)。統計學上課講義。p.1-22~1-43