搜尋關鍵字: 蕭維翰

ν =5/2 & 7/2，分數量子霍爾態與向列相，從拓樸序到自發對稱性破壞
蕭維翰

實驗上已經觀察到在半導體中 ν=5/2 & 7/2 不僅僅可以是量子霍爾態，還可以透過改變壓力產生的相變化，自發地破壞旋轉對稱性。

前陣子讀者曾撰寫了一系列關於量子霍爾效應（Hall effect）的文章，其中有數篇討論了 \(\displaystyle \nu=\frac{5}{2}\) 的基態該是什麼：究竟是 Pfaffian, anti-Pfaffin, 還是 PH-Pfaffian，或者都不是等等。即便在理論上這個議題依舊懸而未決，這幾年的實驗進展卻沒有給理論學家喘息的空間，反之，越來越多的新發現讓分數量子霍爾效應所牽涉的物理更加豐富，也讓學者們困惑同時又嚮往。

蘭道的典範之一：費米液體（二）
蕭維翰

為什麼準粒子假設會重要，而又有哪些物理不在費米液體的領域之內呢？

在上文中我們提供了一些歷史故事，希望提供讀者們一點探討一個標準教科書材料的理由。而在本文中繼續前文未完結的伏筆，並在最後稍稍討論有哪些已知的事實是已經超越「蘭道典範」。

我們首先複習蘭道費米液體的基本概念。在三維空間中，如果一個費米系統具有一個尖銳的費米面與伽利略對稱性，蘭道說明，在費米面附近的低能量自由度是一堆準粒子（quasi-particle）。假設準粒子間的交互作用是絕熱地被打開的，這些由準粒子定義的低能量物理激發態，跟完全沒有交互作用的費米氣體的能量激發態有一對一的對應關係。

蘭道的典範之一：費米液體（一）
蕭維翰

本文中跟大家介紹一個古老、基本但歷久彌新的基本概念，希望讓大家開始了解一點平常大家嘴中的費米液體是什麼。

有時候筆者會猶豫要集中心力在介紹理論物理上最新鮮的點子還是花點時間跟大家說明一些已經成文的事實。就學習物理這種基礎科學的概念而言，應該要多少著墨後者，以免在學習新知的時候，鴨子聽雷事小，道聽塗說、以訛傳訛就就與科普的原意南轅北轍了。另一方面，就寫作的角度，著墨於對筆者本人是很吃力不討好的，一來並不刺激，二來成文的知識已有很多文獻可以閱讀，筆者的剖析未必能比任何現有的經典還要深刻—最省力的方法，就是丟給大家一本聖經的名字，讓有心人去細究。

然而，筆者同時也當過學生，深深明白—沒有人平白沒事會去找（原文、抽象、又充滿數學的）書看的。

投資學、核物理與隨機矩陣（二）
蕭維翰

在前文中筆者嘗試說服讀者，投資的策略是可以利用數學去優化的。但即便只針對隨機過程，依舊有太多工具可以選擇。本系列文將側重於隨機矩陣這個例子，日後有機會再聊聊其他的工具。而選擇隨機矩陣的原因乃在於這個數學分支一部分的重要貢獻來自於核物理的研究。

在本文中，我們將回顧隨機矩陣在核物理發展中產生的助力，並在下篇拉回近代，說明這些想法怎麼被使用到財務問題中。

時間拉回到 1950 年代，物理學家們在核物理的實驗中觀察到許多光譜線。這裡的光譜線的概念和高中化學的氫原子光譜是一樣的。簡而言之，薛丁格方程式會決定一個系統（比如說氫原子）允許具備的穩定狀態與這個狀態具備的能量有哪些，當系統從一個狀態跳到另一個狀態，兩狀態之間的能量差以電磁波的方式釋放並被實驗觀察到，便是光譜。

v=5/2 量子霍爾態之謎（上）
蕭維翰

v=5/2到底發生了什麼事？這是研究霍爾效應的學者們近年來最關切的問題之一。

筆者曾用了三四篇文章來討論霍爾效應。從經典的整數量子霍爾效應（IQHE）、分數量子霍爾效應（FQHE）、複合費米子（Composite Fermion）到最近重新掀起討論的 \(v=\frac{1}{2}\) 費米液體態（Fermi Liquid）。在本文中筆者想延伸這些故事，討論另一個實驗上被觀測到的著名的偶數分母的量子霍爾態——\(v=\frac{5}{2}\)，以及它所牽涉的謎團。

然而筆者必須先在此自白：量子霍爾效應並不算是最好的科普題材。儘管這個問題的組成元素很基本：電子、庫倫作用與垂直的磁場。但真的要進行定量說明的時候，我們很難避免討論一些比較生硬的概念，比如說磁通量附著（flux attachment）與測試波函數（trial wavefunction）。而且事實上除了一些拓樸性質，譬如電導率的係數 v，即便最前沿的計算也很難給出很好的解析結果。絕大多數我們必須倚賴數值計算，從而失去一些直覺。

物理學中的對偶性(下)
蕭維翰

連結：物理學中的對偶性(上)

對偶性不只存在在前面的簡單例子中，其實我們也有費米子與玻色子、玻色子與玻色子、乃至於費米子與費米子間的對偶性。

在上集的討論中，我們約略介紹了「對偶」（duality）在物理學中，的意思：表面上看起來不同的兩個理論，本質上提供一樣的描述。最基本的例子是所謂伊辛模型（Ising model）在原晶格與對偶晶格上的對偶，以及電磁學馬克斯威方程式（Maxwell equations）在沒有電荷下電場磁場交換的對偶性。

物理學中的對偶性(上)
蕭維翰

無論在文學或科學的場合，對偶性的追求，都不僅是形式美的提升，而是對所欲描繪的物件做出更深刻表述的嘗試。

筆者希望以這兩年火紅的對偶描述為量子霍爾效應作小結，但在這之前，有必要另開篇幅跟大家聊聊所謂的對偶是什麼。

對偶是漢語傳統文學的一種修辭技術，又稱對仗，常以字數相符的句子兩兩配成（若討論元曲，也可見三句配成的鼎足對）依據創作體裁的不同，在配對的格律要求會略有出入，但詞性相匹，聲韻相對是基本原則，一個雋永的例子是晏幾道一闋臨江仙的首對「夢後樓臺高鎖，酒醒簾幕低垂。」[1]。

【物理世界】量子霍爾效應（四）：迪拉克複合費米子
蕭維翰

連結：【物理世界】量子霍爾效應（三）：複合費米子

這兩年物理學家提出了新的粒子電動對稱的理論解釋最低蘭道階（Landau Level）的物理，此新模型不再透過將磁通量附著到原粒子身上，而是藉由粒子漩渦對偶性，用更自然的方法去闡述一些實驗上觀測到的現象。

在前面幾篇文章中，我們介紹了量子霍爾效應的現象，並為分數與整數量子效應提供一些解釋。再者我們討論了 Jain 的複合費米子理論，指出實驗上觀測到的分數 \(\frac{1}{3},~\frac{2}{5},~\frac{3}{7},…\) 或 \(\frac{2}{3},~\frac{3}{5},…\) 等，都能被 Jain 序列所說明。在結尾處，我們指出 Jain 序列的極限是 \(\frac{1}{2}\)，在那個狀況下，複合費米子看不到磁場，並形成一個費米液體。針對這個問題， HLR 是一個知名的有效理論。

【物理世界】量子霍爾效應（一）：塵埃中洗滌出的整數
蕭維翰

真的要寫量子霍爾效應，可以寫好幾本書，要從最尖端的進展切入，也會讓讀者摸不著頭緒，這邊我分稿從歷史的起源開始，並只挑一些聽起來真的可以令所有人驚訝的面向。

筆者儘管基於工作很常算數學，但上大學後幾乎不常親自動手做數字計算了。前幾個月我在電腦上送出一個滿複雜的積分，幾秒後我得到

\(\displaystyle\frac{-12.56637062125499}{4\pi}\)

不知道讀者們平常做算術的頻率如何，在作業中遇到這種數字會不會覺得很沮喪？分子那一串數字已經無跡可尋，何況底下還除一個 \(4\pi\)？然而有趣是，在電腦有效的位數下，這個組合其實跑出了── \(-1.00000000000000\)

電導率、弱局域化、與量子混沌（上）
蕭維翰

理論物理學的目的是為物理現象提供一些定量的描述。也因此一個完整的物理理論，應該能計算一些可觀測的物理量。基於人類對電磁現象的掌握，在可測量的一系列物理量中，電阻率（resistivity），或者是它的倒數，電導率（conductivity），大概是最直接的對象了，也因此，本文想趁機談談在一些問題中，物理學家如何從理論模型中得到電導率，而又有哪些因素會影響電導率。

電磁對偶（S-Duality）與歐姆定律（下）
蕭維翰

連結：電磁對偶（S-Duality）與歐姆定律（上）

本文中我們以一個幼稚園版本的例子說明電磁對偶性如何幫助我們計算材料的電導率。

在上文中筆者闡述了想解決的問題，也就是電阻 / 電導的計算，並透過費曼圖的角度嘗試去說服讀者這是個困難的問題，接著也複習了電磁對偶性，並深入一點點，探討在什麼情況下它才是個不無聊的性質。

長話短說，我們需要一個沒有電荷、電流的空間，在邊界上有一個允許有電荷、電流的薄膜。

電磁對偶（S-Duality）與歐姆定律（上）
蕭維翰

對偶性是物理學定律中一個很審美導向的主題，這兩篇文章中我們將討論能不能使對偶性超脫純審美的觀點，而在計算上有所貢獻。

理論學家常遇到的問題是，探討了一千零一個模型後，究竟有什麼用？譬如在前幾期對偶性的討論，許多學者們探究了許多不同模型間的等價性，但對於世人，甚至於其他分支的理論物理學家，這些「對偶」的用處並不明顯。

那一個物理理論怎麼樣算「有用」？筆者相信大多數的學者會同意其中一個關鍵是能不能計算可量測的物理量。

旋轉的玻色愛因斯坦凝聚態
蕭維翰

高中的物理課程中，我們學習動量、角動量，用這兩個量來量化一個物件平動狀態以及轉動的狀態。儘管大多數人在大學後不會再接觸更進階的物理課程，但事實上就描述運動狀態而言，也沒有更多新的物件了。

物理學的理論描述是盡量得跟實驗呼應的，也因此，即便是今日大如強子對撞機的尖端實驗，源頭的想法也都是想藉由動量、角動量等在交互作用的前後關係，去獲得物理資訊。

本文就來略談，當我們轉動一個流體，更精確地說，一個玻色愛因斯坦凝聚態（Bose-Einstein Condensate），什麼事情會發生。

路徑積分與費曼圖（下）
蕭維翰

連結：路徑積分與費曼圖（上）

在前文中筆者指出，路徑積分在發明之際主要是作為另一種計算給定物理過程所對應躍遷振幅的方法，費曼圖是物理過程的圖像表示，當畫出一個費曼圖，原則上我們能夠將它拆解成一些小過程，而每個小過程可由費曼規則對應到某個數學式，也就是我們所求的答案。

在費曼的工作之前，儘管人們已經知道了在量子場論中進行這種計算的方法，但當時，這幾乎是只有最頂尖的理論物理學家才能進行的計算，而今任何一個研究所水平的物理本科生幾乎都能進行最簡單的微擾理論計算。

路徑積分與費曼圖（上）
蕭維翰

本次費曼專題筆者希望透過兩篇文章談論費曼的路徑積分與費曼圖，作為費曼科學工作的代表。而本文將側重於路徑積分，並在結尾引出費曼圖。

但在科學開始之前，筆者必須承認，一直以來，我認為談論費曼的科學工作不是簡單的事。困難處不在於那些科學技術上的深澀，反在於它們的基礎性與普世性，在沒有獨樹一幟的新見解前，這個世界需不需要多一篇介紹費曼學術成就的科普文？

筆者相信在 CASE 的多年耕耘下，讀者們對於路徑積分或多或少都有所耳聞。科普界亦已有許多談論路徑積分的文章，絕大多數都會以光子或電子的雙狹縫干涉實驗為物理動機進行說明，以一個科學工作者的角度來看，這的確不失為好的介紹方式——首先提出實驗可想見實現的物理情境，接著嘗試利用物理直覺猜測可能的結果，再以意料之外的真實現象誘使讀者思考，最後說明迄今人類對於此問題的理解，並抽象化成為整個量子理論的指導原則。