物理學中的對偶性(上)

物理學中的對偶性(上)
蕭維翰

無論在文學或科學的場合，對偶性的追求，都不僅是形式美的提升，而是對所欲描繪的物件做出更深刻表述的嘗試。

An illustration of magnetic monopole. Photo Credit: Heikka Valja. This photo is adopted from the new “Physics Professor David Hall and Team Observe Quantum-Mechanical Monopoles” on Amherst College official website. News Date: 4/30/2015.

筆者希望以這兩年火紅的對偶描述為量子霍爾效應作小結，但在這之前，有必要另開篇幅跟大家聊聊所謂的對偶是什麼。

對偶是漢語傳統文學的一種修辭技術，又稱對仗，常以字數相符的句子兩兩配成（若討論元曲，也可見三句配成的鼎足對）依據創作體裁的不同，在配對的格律要求會略有出入，但詞性相匹，聲韻相對是基本原則，一個雋永的例子是晏幾道一闋臨江仙的首對「夢後樓臺高鎖，酒醒簾幕低垂。」[1]。

文學審美，與語言的文字結構相輔相成，對偶修辭顯然也是得利於漢字的方塊結構。在以數學語言構成的現代物理學中，從固態物理到弦理論也充斥著許多對偶（duality），但此處相對的兩個物件，以蘇軾所謂「橫看成嶺側成峰」來比喻，應該更能直觸神髓。

如漢語對偶的細節隨體裁而異，物理學中對偶理論的精確定義也隨著場合不盡相同，但大致上的意思是，有兩個數學上看起來相異的理論，物理內涵是相同的。

一個抽象[2]但離社會大眾可能接近一點的例子是電磁學。古典電磁學的內涵是，給你電流跟電荷，原則上透過馬克斯威方程式跟邊界條件就能決定電場 \(E\) 跟磁場 \(B\) 的狀況。若今天系統沒有電流跟電荷，將馬克斯威方程組的 \(E\) 寫成 \(B\)，\(B\) 寫成 \(-E\)，四條方程式維持原樣。在比較高階的教材中，我們常把 \((E, B)\)[3] 寫成 \(F\)，然後把它的對偶寫成 \(^*F=(B,-E)\)。在沒有電流跟電荷的狀況下，馬克斯威方程式的中文就是 \(F\) 的微分等於 \(0\)，\(^*F\) 的微分也等於 \(0\)。

如果允許電流跟電荷，這時候馬克斯威方程式變成 \(F\) 的微分等於電流/電荷，\(^*F\) 的微分等於 \(0\)。把 \(F\) 寫成 \(^*F\) 就會改變電磁學了，若我們希望電磁學有這個對偶性，至少得引進磁荷，或說磁單極。然而，除了在自然狀況下磁單極還沒被發現的實證疑慮，引進磁單極也會造成現有理論的缺陷。狄拉克（P. Dirac）首先說明如果量子力學跟電磁學都要安然無恙，電子電荷 \(e\) 和磁單極的磁荷 \(g\) 必須符合 \(eg = 2n\pi\) [4]，其中 \(n\) 是整數，我們可以注意到，給定一個 \(n\)，若 \(e\) 很大，\(g\) 就小，反之當 \(g\) 很大，\(e\) 就小。

另一個例子是二維易辛模型（Ising model），這是一個模擬磁鐵最簡單的模型，基本上就是一個平面晶格，每個格點上都有一個箭頭代表小磁鐵，但它們只允許朝上 \((+1)\) 或朝下 \((-1)\)。在研究它的熱力學時，交互作用的強度約略可以用溫度 \(T\) 或者倒數 \(\frac{1}{T}=K\) 代表。經過一些計算，在原本晶格上的問題可以寫成一個在對偶晶格上的問題，只是原本的 \(K\) 換成另一個 \(K’\)。在正方形的晶格中，\(K\) 與 \(K’\) 有一個很對稱的關係：\(\sinh K \sinh K’=1\)。讀者不用擔心不知道 \(\sinh\) 是什麼函數，只需要注意在這個關係中，因為兩個人相乘起來是 \(1\)，所以當 \(\sinh K\) 很大，\(sinh K’\) 就很小，反之亦然。

這兩個例子都有顯示一個特色：互相對偶的兩個理論中，如果一個交互作用很強，另外一個強度就很小。這幾乎是所有對偶性中都具備的特性，更甚者，在一些對偶性可以更精確描述的問題中，我們甚至可以建立「字典」，把一邊理論中的變數，和另外一邊的其他變數一一對應起來。

研究物理問題時擁有對偶性的好處是，很可能我們對於一個強關聯的問題束手無策，但透過了解它的對偶理論，再透過字典回溯原本的問題，也能獲得很多資訊。亦即追求對偶性不僅是強化只有業內人士理解的形式美，透過對偶的結構，我們其實是由不同面向去窺探同一物理的堂奧。

對偶晶格（dual lattice）基本上很好建構，基本上就是在原晶格兩個格點連線間畫中垂線，這些中垂線形成的晶格就是對偶晶格，比如說我們一開始有左上角的藍色正方形晶格，他的對偶晶格就是紅色虛線的正方形（所以正方形晶格是自對偶（self dual））。同樣的我們也可以畫三角晶格跟蜂窩晶格的對偶晶格，然後發現這兩者是相互對偶的。

連結：物理學中的對偶性(下)

延伸閱讀：（筆者按：對偶真的比較難欸，所以有興趣的可以從這種入門）
Savit, Duality in field theory and statistical systems, Rev. Mod. Phys. 52, 453 (1980).

有志之士可以看底下這兩個：
J. Harvey, Magnetic Monopole, Duality and Supersymmetry, arXiv:9603086.
J. Polchinski, Dualities of Fields and Strings, arXiv:1412.5704.

註解：

[1] 作為一個北宋常見的詞牌，臨江仙有很多種句式，有開頭六字六字對起首的，也有五字七字起首的，如蘇軾「夜飲東坡醒復醉，歸來彷彿三更。」，未必每闋臨江仙，都能追及小晏該詞以如此典雅的對偶開局。

[2] 筆者默默看了每個自己知道的例子，好像每個都滿抽象的……。

[3] 它其實是一個矩陣，我想表達的是，我們想把電場跟磁場放在一起當成一個物件。

[4] 這個關係說明了，即便我們日常生活中沒看到磁單極，但只要宇宙中某個角落有磁單極，電子的電量就要被量子化。