機率歷史(The History of Probability)
機率歷史(The History of Probability)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯
自古以來，對於不可預知的事情，人們總是充滿著好奇，並且在好奇心的驅使下，往往產生了一些或對或錯的法則。姑且不論其動機為何，這些法則卻可能因此開創另一領域或學科，機率論（theory of probability）的發展便是如此。
排列組合
從二項式定理到多項式定理 (2)
從二項式定理到多項式定理 (2)（From Binomial Theorem to Multinomial Theorem (2)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
在〈從二項式定理到多項式定理(1)〉中提到 \((x+y)^3\) 的 \(x^2y^1\) 項是如何產生呢？由於 \({\left( {x + y} \right)^3} = \left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)\)，故可看成在三個 \((x+y)\) 括號中，二個選 \(x\) 一個選 \(y\) 相乘而得，如此選取的方法數為 \(C_1^3\)，所以 \(x^2y^1\) 項的係數是 \(C_1^3=3\)。
不過，也可換個方式來看 \(x^2y^1\) 項的產生。如圖一所示，選取二個選 \(x\)、一個 \(y\) 後，其情形等同於 \(2\) 個 \(x\) 與 \(1\) 個 \(y\) 的不盡相異物直線排列。因此，\(2\) 個 \(x\)、\(1\) 個 \(y\) 的直線排列可產生 \(x^2y^1\) 項，這樣的排列方法數為 \(\frac{3!}{1!2!}=3=C_1^3\)，故 \(x^2y^1\) 項的係數是 \(C_1^3=3\)。
圖一\(~~~(x+y)^3\) 部分集項示意圖
從二項式定理到多項式定理 (1)
從二項式定理到多項式定理 (1)（From Binomial Theorem to Multinomial Theorem (1)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
國中時學到乘法公式 \({(x + y)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\)，\({(x + y)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\)，就在猜想 \({(x + y)^4},{(x + y)^5},\cdots,{(x + y)^n}\) 展開後的模樣。透過比對可看出 \((x+y)^n\) 的各項都是齊次，也就是說，展開的各項 \(x^ay^b\) 都會滿足 \(a+b=n\)。
因此，只要能掌握各項係數的規則，任意的自然數 \(n\)，我們便能將 \((x+y)^n\) 的各項依 \(x\) 或 \(y\) 的升冪或降冪排出。國中老師採用的方法是將巴斯卡三角形畫出(圖一)，一一對應，只要足夠耐心，就能達到任意的自然數 \(n\)。
圖一\(~~~\)巴斯卡三角形
重複組合（二）：公式的一個直觀解釋
重複組合（二）：公式的一個直觀解釋
Combination with repetition (II)：An intuitional explanation of the formula
臺北市立和平高中教師黃俊瑋
在〈重複組合（一）：相關課程之統整與反思〉一文裡，簡單統整了重複組合相關概念與連結。
一般而言，重複組合問題可利用一一對應原理，轉化成 \(x_1+x_2+\cdots+x_n=k\) 類方程式求非負整數解個數問題，再進一步轉化得其解的數量為 \(C_k^{k+n-1}\)。而各類計數問題，只要轉化成上述方程式求非負整教解問題，便可依此組合公式求解。
以具體的例子來看，從 \(3\) 類物（每類物超過 \(5\) 個）可重複地選出 \(5\) 個的組合數，等於方程式 \(x+y+z=5\) 的非負整數解個數，可轉化成 \(5\) 個○與 \(2\) 個分隔記號|的排列數，再換成組合數，如此可知非負整數解之數為 \(C_3^{5+(3-1)}\)。
這裡筆者分享另一個想法：我們可將分隔記號「|」改以加號「＋」代替，這時 的一組解可對應到「○○○○○＋＋」的一種排法，例如：「○○＋○○＋○」\(\leftrightarrow(2,2,1)\)；「○＋＋○○○○」\(\leftrightarrow(1,0,4)\)，其中，將球區分成 \(3\) 區同樣需要兩個＋號，同時，加號可有助於直觀地與「\(3\) 個變數加起來為 \(5\)」，以及「\(3\) 類球○加起來共選 \(5\) 個」作連結。
重複組合（一）：相關課程之統整與反思
重複組合（一）：相關課程之統整與反思
Combination with repetition (I)：Integration and reflection of related curriculum
臺北市立和平高中教師黃俊瑋
現今課程綱要的排列組合單元裡，重複組合是較困難的概念。特別是多次利用一一對應原理，將求原問題的組合數，轉換成求方程式的非負整數解個數，最後再轉換成組合公式計算出其數。雖然可得公式，但此組合公式與原情境的直觀連結不易。因此，本文的第一部份，先簡單回顧統整重複組合相關概念與問題。第二部份，則對重複組合的公式提出另一直觀的解釋。
首先，從甲、乙、丙、丁、戊共 \(5\) 件相異物（或 \(5\) 個人）中任選三物（或 \(3\) 個人），這是一般的組合問題，其方法數為 \(C_3^5\)。其中的每物或每人選可被選中一次，例如：「甲乙丙」、「甲乙丁」與「乙丙丁」等皆為可能的情況。而所謂的重複組合問題，即是每物或每人皆可重複地被選取，換句話說，可能選出的人選為「甲甲乙」或者「丁丁丁」等情況，當然也包含了上述「甲乙丙」、「甲乙丁」與「乙丙丁」等三種情況。不難看出，放寬到可重複選取的情況時，可能的組合數明顯變多了。而一般組合與重複組合最大的差異，在於被選的對象是否可重複地被選取。
二項式定理的推廣（四）: 和算家的數學表（下）
二項式定理的推廣（四）：和算家的數學表（下）
（The generalization of Binomial theorem（IV）：the mathematical table of wasan mathematicians）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師
在〈二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上）〉一文中，提到江戶時期日本數學家（和算家）利用數學表的方式，推廣了二項式定理，以求得了 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式之各項係數表。另一方面，在〈二項式定理的推廣（二）〉一文裡，也提到他們利用開方法（綜合除法，亦即中國傳入的賈憲－霍納法）求得了展開式：
$${(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…$$
有了上述展開式之後，即可以透過造表、觀察關係與規律的方式造出
$${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$、$${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{ – \frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$以及 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{7}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{\frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$之展開式。
利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$，利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$等。
二項式定理的推廣（三）: 和算家的數學表（上）
二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上）
(The generalization of Binomial theorem（III）：the mathematical table of wasan mathematicians)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師
在〈二項式定理的推廣（一）〉與〈二項式定理的推廣（二）〉兩篇文章中，提到了江戶時期日本數學家（和算家）對二項式定理的推廣，包含利用無窮等比級數公式以及直觀地使用了「無窮多項式」的乘法，將二項式定理的幂次推廣至負整數的情況。並也說明他們如何利用開方法（綜合除法，亦即中國傳入的賈憲－霍納法）將二項式定理的幂次推廣至 $$1/2$$ 以及 $$1/n$$ 任意的情況。
有趣的是，江戶時期日本數學家進一步發展出各類數學「表」，用來幫助計算與推廣二項式定理，一般也作為記載數學知識之用。如表一所示，為 $$(1-x)^{-k}$$ 類二項展開式之係數表（這裡為方便讀者閱讀，筆者將原表格內容改以現代符號來表示，並受篇幅所限只列出當中的一部份），若我們僅看數字部份，則第一列的數字為 $$(1-x)^{-1}$$ 的各項係數；第二列為$$(1-x)^{-2}$$ 的各項係數；$$\cdots$$；第 $$k$$ 列為 $$(1-x)^{-k}$$ 的各項係數（然表中皆僅列到前七項）。
有了第一列之後，便可以任意地擴張整個表的內容，得到任意的 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式係數。
例如：
$$(1-x)^{-2}$$ 的 $$x^2$$ 項係數 $$3$$，便是上一列前 $$3$$ 項之和，即 $$a_{22}=a_{10}+a_{11}+a_{12}$$
$$(1-x)^{-3}$$ 的 $$x^4$$ 項係數 $$15$$，便是上一列前 $$5$$ 項之和，
即 $${a_{34}} = {a_{20}} + {a_{21}} + {a_{22}} + {a_{23}} + {a_{24}}$$
$$\cdots$$
$$(1-x)^{-k}$$ 的 $$x^n$$ 項係數，便是上一列前 $$n+1$$ 項之和，
即 $${a_{kn}} = {a_{k – 1,0}} + {a_{k – 1,1}} + {a_{k – 1,2}} +\ldots+ {a_{k – 1,n}}$$
二項式定理的推廣（二）: 有理數冪次
二項式定理的推廣（二）：有理數冪次
(The generalization of Binomial theorem（II）：rational power)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師
前文〈二項式定理的推廣（一）：負整數冪次〉裡，對二項式定理作了冪次上的推廣，從正整數推廣至負整數。接著，我們進行另一個推廣：有理數冪次。不過，受限於篇幅，這裡主要先討論指數為 $$1/2$$ 次方的二項展開式。並同樣借用江戶時期日本數學家的方法來作說明。
首先，指數為 $$1/2$$ 次方的二項展開式與開平方問題為一體兩面，例如 $$(1+a)^{\frac{1}{2}}$$ 可看成 $$\sqrt{1+a}$$。再者，在東方數學史發展的過程裡，$$\sqrt{1+a}$$ 之開方問題與方程式的解息息相關：若令$$x=\sqrt{1+a}$$ ，則開方求 $$x$$ 相當於求解方程式 $$x^2-(1+a)=0$$ 之實根問題。
然而，無論是傳統中算或者江戶時期的日本數學發展的過程，求解一元多項方程次時，往往利用了類似現今綜合除法的「開方法」（即賈憲－霍納法）來求方程式的數值解（相關內容與方法，可參考另一篇文章〈利用綜合除法求解多項方程式〉）。
因此，處理 $$(1+a)^{1/n}$$ 有關的展開式問題時，
便相當於求解 $$x=(1+a)^{1/n}$$，亦即求解 $$x^n-(1+a)=0$$ 的實根。
當然，若 $$1+a$$ 為實數時，我們僅需前述方法（賈憲－霍納法）便能求得其近似數值解。
二項式定理的推廣（一）: 負整數冪次
二項式定理的推廣（一）: 負整數冪次
（The generalization of Binomial theorem（I）：negative power）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師
國中數學課程裡，介紹了兩個重要的乘法公式：$$(x\pm y)^2=x^2\pm 2xy+y^2$$。
到了高一上的「數與式」單元，將這二個公式推廣至指數為三次方的情況：
$$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$ 以及 $$(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$$
到了高一下，在引進了組合相關概念後，便可一般性地討論二項式定理，將指數推廣至任意正整數次方的情況：
$${(x + y)^n} = C_0^n{x^n} + C_1^n{x^{n – 1}}y + \cdots + C_k^n{x^{n – k}}{y^k} + \cdots + C_n^n{y^n}$$
然而，當指數為有理數的情況呢？或負整數次方呢？例如 $$(x+y)^{\frac{1}{2}}$$、$$\sqrt{1\pm x}$$、$${(1 \pm x)^{ – 1}} = \frac{1}{{1 \pm x}}$$ 等問題，皆與二項式定理有關。一般在高中課程中並不特別討論其展開式。本文中，首先介紹指數為負整數的情況，接著，〈二項式定理的推廣（二）：有理數冪次〉一文中，繼續介紹指數為有理數的情況。
如何計算紅球先取完的機率？
如何計算紅球先取完的機率？
(How to calculate the probablity of taking all the red balls first ?)
國立蘭陽女中陳敏晧教師
排列組合教學過程中，有一個值得討論的議題：「如何計算紅球先取完的機率？」
先從兩種不同顏色球的討論開始：
例1：
袋中有三個紅球與兩個白球，今從袋中每次取一球，取後不放回，請問紅球比白球先取完的機率？
解法：
因為紅球先取完，所以，最後一球必定是白球，因此，
\( P(\text{紅球比白球先取完})= \displaystyle\frac{{\frac{{4!}}{{3! \times 1!}}}}{{\frac{{5!}}{{3! \times 2!}}}} = \frac{2}{5} = \frac{2}{{3 + 2}} = \frac{W}{{R + W}}\)，
其中 \(R\) 代表紅球的個數，\(W\) 代表白球的個數。
接著，透過排容原理(Inclusion–exclusion principle)或取捨原理，
如下圖一與圖二所示，可以將問題延伸。