機率歷史(The History of Probability)

機率歷史(The History of Probability)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

自古以來，對於不可預知的事情，人們總是充滿著好奇，並且在好奇心的驅使下，往往產生了一些或對或錯的法則。姑且不論其動機為何，這些法則卻可能因此開創另一領域或學科，機率論（theory of probability）的發展便是如此。

西方學者於 17 世紀開始對機率理論產生興趣，其理論背景最初只是為了處理如擲骰子、輪盤、撲克牌等遊戲的賭金分配問題。其中擲骰子早期流行於埃及、印度及東方民族，希臘人把擲骰子遊戲的發明，歸功於特洛伊城被圍困時的帕拉墨得斯，當時的人們都十分熱衷此遊戲。古羅馬人也不干示弱，克勞狄皇帝還親自撰寫有關擲骰子的文章。而在《摩軻婆羅多》這部有 3000 年的印度敘事詩中，紀錄了一位狂熱的擲骰子賭徒的不幸，他在輸光了一切之後，竟然拿自己的生命做賭注，真是令人惋惜的一段歷史。

關於機率，一些教科書通常都以法國貴族默勒 (Chevalier de Mere) 請教巴斯卡 (Blaise Pascal, 1601-1665) 骰子擲點問題作為出發點。問題為：「擲一個骰子四次至少有一次出現點數 1 的機會，與擲一對骰子 24 次至少有雙1(兩個骰子都出現點數1)的機會，何者較大？」默勒認為是相同，理由如下：第一種擲法：每擲一次骰子，有 1/6 的機會出現點數1，因此，擲四次骰子，有4×1/6=2/3的機會出現點數1。第二種擲法：每擲一對骰子，有 1/36 的機會出現兩個骰子點數均為1，因此，擲 24 次骰子，有 24×1/36=2/3 的機會出現兩個骰子點數均為 1。

默勒的想法很明顯是錯誤的，他認為每擲 6 次骰子「必然」有一次出現一點，所以，才導致錯誤(這也是一般學生常犯的錯誤類型)。從這裡我們可以看到，機率論發展之初並不是一帆風順的，而是先有了一些質樸但不一定正確的想像。現行教科書中的編排方式，會讓許多學生誤認為所有的數學知識，皆憑藉著一些聰穎的想法(idea)而非一些成功或失敗的累積過程。所以，我們應還原歷史的始末，給予學生更多的洞察力 (insight) 及想像力 (imagination)。(註1)

接下來，再介紹默勒的另一個問題：「兩人比賽各出資賭金 32 金幣，規定必須要贏三局才能贏得賭金 (stakes)，但後來比賽因故終止，且勝局比為 (1，0)，問此時如何分賭金？」此外，帕奇歐里 (Luca Pacioli, 1446-1517) 著有第一本數學史上包括機率問題的書籍，本書於 1494 年在義大利威尼斯出版，書中有一題如下：「兩人比賽各出資賭金 32 金幣，規定必須贏三局才能贏得賭金，但後來比賽因故終止，且勝局比為(2，0)，問此時如何分賭金？」

這幾個問題，引發數學家卡當諾(Girolamo Cardano,1501-1576)及塔爾塔利亞(Niccolo Tartaglia,1499-1557)的興趣，但直到卡當諾死後其解法才出現。同時，眾所皆知的偉大科學家伽利略(Galileo Galilei,1564-1642)也曾寫過有關機率的書籍，可惜，並未流傳下來。直到1654年夏天，這些問題被17世紀法國最偉大的數學家巴斯卡與費瑪(Pierre de Fermat, 1601-1665)利用書信的往返討論才解決，才奠立了機率論的基礎。

機率論的建立莫勒請教巴斯卡骰子擲點問題是建立機率理論的觸媒，接下來巴斯卡則寫信請教費瑪(可惜信已遺失了)，費瑪緊接於1654年7月27日星期一回信，提出了解法。兩天後巴斯卡回復：「這個方法是非常可信賴的(reliable)並且是我第一次見過的。」巴斯卡宣稱發現了更短且更簡單(much shorter and simpler)的不同方法，最後，他在信結尾處更表現了感性及真誠的情誼，說道：「真理無論在巴黎或吐勒斯（法國西南部）皆相同。(Truth is same of Toulouse and at Paris)」

以下，讓我們一同來欣賞巴斯卡的傑作。首先，規定必須要贏三局才能贏得賭金，先考慮兩人勝局(2，1)，(2，0)，(1，0)。請注意：每人出賭金32金幣，這個數目是經過挑選，以便使答案產生最簡單的整數比。

第一種狀況 (2，1)，是比較容易理解的。

如果繼續比賽，第一位再贏一局的話，他將贏得所有的金幣，即64個金幣：如果第二位贏一局的話，比局將為(2，2)，每個人均分所有的金幣，即32個金幣，因此結果分法為［64：0］，［32：32］。所以第一位選手確定有32個金幣，而剩餘的均分即16、16，所以，終止比賽的正確分法為［48：16］。(註2)

第二種狀況(2，0)，剛好回答了先前帕奇歐里所提出的問題。

如果繼續比賽，第一位至少有48個金幣，外加16的一半即8、8，所以，終止比賽的正確分法為［56：8］，最簡單整數比為［7：1］，此為帕奇歐里問題的答案。

第三種狀況(1，0)，則是回答默勒所提的問題。

如果第一位再贏一局的話，比數將為(2，0)，第一位將取走 56 個金幣，如果第一位輸的話比數將為 (1，1)，第一位將取走 32 個金幣，所以第一位將拿 32 個金幣，外加 (56減32) 的一半即 12、12，終止比賽的正確分法為 ［44：20］，最簡單的整數比為［11：5］。

至於費瑪的解法，則是根據還有幾場需要比賽才能看出贏家(winner)。如果第一位需要再比m場才贏，而且第二位需要再比n場才贏，則需再經過 m+n-1 場才能宣佈贏家。例如：默勒問題中，勝局比為(1，0)，費瑪接下來的四場比賽可能結果列出如下：(a代表第一位獲勝；b 代表第二位獲勝)，最後的1、2表示結果獲勝的選手。

所以，費瑪認為兩位應該分的比例為［11：5］，這個結果跟巴斯卡所得到結果相同。但是，一位巴黎的數學家羅貝瓦爾(Giles de Roberval，1602-1675)，卻持不同的看法，他認為有些比賽不需要列出四局，有些只需二、三局。

而 (a+b)⁴ = a⁴ +4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴ 費瑪的解法，卻扯出二項式定理：a，b視為兩項，四次展開式之係數分別為1、4、6、4、1 (註3)，所以，分法為［1+4+6：4+1］=［11：5］。由於巴斯卡與費瑪鍥而不捨的精神，使機率理論有了完整的建立，並造就拉普拉斯成為機率論的集大成者。

1655 年，荷蘭數學家惠更斯(Christiaan Huygens, 1629-1695) 走訪巴黎，透過羅貝瓦爾的介紹，而得以瞭解巴斯卡與費瑪作品的內容，並且於 1657 年寫有關機率方面的簡短論著《論賽局遊戲的計算 (On the Calculations in Games of Chance)》，書中只有十四條論述 (proposition)，而且留下五個練習題給讀者演練。後來，雅克．伯努力 (Jacob Bernouli, 1654-1705) 用這本論著來註解他自己的《猜度術(Ars Conjectandi)》(1713)，其中兩位實力不相當的選手比賽的相關問題，也是由伯努力所發展出來的。

1655年，荷蘭數學家惠更斯(Christiaan Huygens, 1629-1695)走訪巴黎，透過羅貝瓦爾的介紹，而得以瞭解巴斯卡與費瑪作品的內容，並且於1657年寫有關機率方面的簡短論著《論賽局遊戲的計算(On the Calculations in Games of Chance)》，書中只有十四條論述(proposition)，而且留下五個練習題給讀者演練。後來，雅克．伯努力(Jacob Bernouli, 1654-1705)用這本論著來註解他自己的《猜度術(Ars Conjectandi)》(1713)，其中兩位實力不相當的選手比賽的相關問題，也是由伯努力所發展出來的。

拉普拉斯(Pierre de Laplace, 1749-1827)的《機率的分析理論(Analytic Theory of Probabilities)》則加廣且加深機率的數學理論，不只是賭博問題而已。在他之前，機率的理論只是簡單的賽局遊戲而已，而拉普拉斯將機率理論轉往其他數學分支(例如：錯誤分析與數理統計)甚至於運用到天文學上；此外，他利用人口的抽樣方法來估計法國的人口總數，如此一來，使得機率理論在數學中佔有一席之地，因此，經由以上幾位數學家的努力，機率論正式獲得建立。

總之，「機率」是個現代人常用的語言，但它的起源就宛如一場「美麗的相遇」，若不是巴斯卡、費瑪兩人具有追根究柢的精神，將機遇賽局遊戲(game of chance，如擲骰子、轉輪盤、撲克牌等)發揮到極致，進而研究許多有關機率理論，機率論的歷史就不會如此多彩多姿。看完此小品介紹機率史之後，是不是讓你對於機率論的起源有了較深刻的了解呢？

註1：骰子擲點問題發展與巴斯卡三角形、組合公式、二項式定理均有密不可分的關係。這些問題也出現在伊斯蘭教民族中的遺產分配。見蘇意雯 (2001)，＜遺產問題與阿拉伯數學史＞，《HPM 通訊》第四卷第五期，頁 3-6。
註2：文章中用(a，b)表示兩人比賽的局數，而［A：B］代表比完賭金分配情形。
註3：可利用組合公式