二的平方根(The Square Root of Two)

二的平方根(The Square Root of Two)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

二的平方根記作 $$\sqrt{2}$$，讀作「根號二」。$$\sqrt{2}$$ 是一個代數式，而不是如 $$2$$、$$1.4142$$ 這樣的數字。$$\sqrt{2}$$ 代表那個平方後會等於 $$2$$ 的正數，也代表一個面積為 $$2$$ 的正方形之邊長；它是方程式 $$x^2=2$$ 的唯一正根。

為什麼我們不用數字去表現根號二而非要寫成 $$\sqrt{2}$$ 呢？那是由於 $$\sqrt{2}$$ 無法寫成整數、有限小數或無窮循環小數這樣的數字，也不能寫成分數。也就是說，$$\sqrt{2}$$ 不是有理數，它是無理數。

在證明 $$\sqrt{2}$$ 為無理數之前，我們要先敘述並證明一個引理（Lemma）。

【引理】

令 $$n$$ 是一個正整數，則

$$n$$ 是偶數 $$\Longleftrightarrow n^2$$ 是偶數。

[證明]

$$\blacksquare$$正命題
假設 $$n$$ 為偶數，則根據偶數之定義，必有一整數 $$k$$ 使得 $$n=2k$$。而由於 $$n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)$$，則無論 $$k$$ 值為何，其結果必定為偶數，故得證。

$$\blacksquare$$逆命題
若 $$n^2$$ 為偶數且假設 $$n$$ 為奇數，則根據奇數之定義，必有一整數 $$k$$ 使得 $$n=2k+1$$。由於 $$n^2=(2k+1)^2=4k^2+2k+1=2(2k^2+k)+1$$，則無論 $$k$$ 值為何，$$n^2$$ 必定為奇數，但此與前提不符。由於所有的正整數不是偶數就是奇數，既然 $$n$$ 不是奇數，則 $$n$$ 必為偶數。

引理其實也是定理（Theorem），也就是經過證明，確保無誤的一個數學命題。只是，相較而言，引理的內容較為輔助性，而定理的內容較為獨立。定理和引理的分別，屬於價值的判斷而不是優劣或輕重的判斷。

【定理】
不可能有互質的正整數 $$m$$、$$n$$，使得 $$\displaystyle\frac{n^2}{m^2}=2$$。

[證明]

如果 $$m$$、$$n$$ 是互質的正整數，但是 $$\displaystyle\frac{n^2}{m^2}=2$$，則 $$2m^2=n^2$$。可見 $$n^2$$ 是偶數。

根據引理，則 $$n$$ 必為偶數，所以存在一正整數 $$k$$ 使 $$n=2k$$。將之代回前式：

$$2m^2=n^2=(2k)^2=4k^2$$

化簡為 $$m^2=2k^2$$，由此可知 $$m^2$$ 為偶數。再根據引理，則 $$m$$ 亦為偶數。

然此結論與前提不合──若 $$m$$ 與 $$n$$ 同為偶數，則 $$m$$ 與 $$n$$ 不可能互質。所以不可能有互質的正整數 $$m$$、$$n$$，使得 $$\displaystyle\frac{n^2}{m^2}=2$$。

所謂「$$\sqrt{2}$$ 是無理數」的意思就是「$$\sqrt{2}$$ 不是有理數」，也就是以下命題

$$\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p}{q}$$ 且 $$p$$ 、$$q$$ 是正整數

 是不可能的（我們已經知道 $$\sqrt{2}>0$$ 而且不是整數）。已知分數能約分為最簡分數，所以只需討論分子與分母互質的分數即可。上述定理恰恰就說明了這個事實。所以，$$\sqrt{2}$$ 是無理數。

經過數學證明後，$$\sqrt{2}$$ 是無理數已成為一個無法拒絕的事實。但是否有同學仍然不服──在現實世界中，真的會存在一面積為 $$2$$ 的正方形嗎？這個問題同樣也能用幾何的操作方法解釋。首先我們可以先取得一個正方形磁磚，令其邊長為 $$1$$，所以此正方形的面積為 $$1$$。

再拿一個同樣的磁磚，並將兩塊拼在一起，就成為一個面積為 $$2$$ 的長方形了。

但這是個長方形而非我們所想要的正方形。因此接下來我們要作的是將這兩個正方形分別依對角線裁切如下。

由於這是兩個全等的正方形，我們可分別以他們的一邊作拼貼，成為下面的樣子。

這個新的正方形的邊長皆由原本小正方形的對角線所構成；由於已知這塊正方形的面積為 $$2$$，它的邊長則將不可避免地為 $$\sqrt{2}$$。

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