波〈Wave〉﹝三﹞

波〈Wave〉﹝三﹞
國立彰化師範大學物理系侯院武/國立彰化師範大學物理系洪連輝教授責任編輯

連結：波﹝二﹞

數學描述

以數學觀點來描述最簡單的波為諧波，波方程式為 $$f(x,t)=A\sin(\alpha t-kx)$$，$$A$$ 為振幅，在波的週期中位置振動的最大值，在光的例子中，此為波與基準線的最大垂直距離，振幅的單位決定於波的振幅形式，在繩波振幅表示距離，在聲波表示壓力，在電磁波表示電場大小，振幅可為定值，隨時間與位置而變，振動形式的大小又稱為波的包跡線。

波長是指兩個連續間點之間的距離，最普遍的單位為公尺亦以奈米為計算單位。

波數 $$k$$ 可以用波長的關係表示 $$k=2\pi/\lambda$$。

週期 $$T$$ 是指一完整的振動所經歷的時間，頻率 $$f$$ 係指在單位時間內的週期次數，通常以 $$Hz$$ 表示，彼此間的關係為 $$f=1/T$$，亦即頻率與週期成反比關係。

角頻率 $$\omega$$ 以每秒弳度表示，關係式為 $$\omega=2\pi/T=2\pi f$$。

波是兩種速度的結合，其一為相速度，指每個波傳播的速率，$$\displaystyle v_p=\frac{\omega}{k}=\lambda f$$。

另一則為群速度，為波在空間傳播時波形的改變，此為波可傳送的訊息的速率 $$\displaystyle v_g=\frac{\partial \omega}{\partial k}$$

波方程式

波方程式為微分方程式，描述諧波隨時間的演變，在不同維度的波方程式及介質中，波方程式將會有些微不同，一維波以波速 $$v$$ 沿 $$x$$ 軸傳播的波 $$u$$ 的波方程式為

$$\displaystyle\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

擴展至 $$3$$ 維空間則為 $$\displaystyle\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\nabla^2u$$

波速由波形和傳播介質而定，一維波的通解形式為 $$u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt)$$。

可視為兩脈衝以相反的方向於繩上傳播，$$F$$ 朝 $$+x$$ 方向，而 $$G$$ 則朝 $$-x$$ 方向，若我們以 $$x$$、$$y$$、$$z$$ 取代 $$x$$ 則可代表三維波。

Schrodinger 方程式描述粒子在量子力學有似波的行為，方程式的解為波方程式，可用來表示粒子的機率密度，量子力學亦描述波的粒子性。

參考資料：

1. Wave. http://en.wikipedia.org/wiki/wave