穿隧(通過勢壘)

穿隧(通過勢壘)

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穿隧(通過勢壘)Tunneling (through a potential barrier)
國立臺灣大學物理學系98級 蔡亦涵

小時候我們也許都有一個經驗,騎腳踏車看到前方有一個小斜坡,好勝心強的我們會想要加足馬力衝上去,如果斜坡不高的話,輕而一舉就過去了,要是斜坡很高,我們在半路就停下來了。

在古典力學裡面,若一個物體的總能量比前方障礙的位能還要小的話,則該物體無法克服位能障礙去到達另一端(圖1)。

Fig 1-Ball Rolling Uphill and Down-PingPong

圖1 (陳義裕繪)

但是在量子力學的世界裡卻不一定是如此。若物體的尺度小到量子效應明顯的話,即使總能量比位能還低,只要位能不是無限大,也不是無窮寬,的確是有機會穿透過去,我們將它稱為穿隧效應(tunneling effect)。

這聽起來很不可思議,很像是科幻小說或是科幻電影才會出現的情節,而這也就是量子力學令人難以捉摸且迷人的地方。之所以會有上述的情節與可能性,最重要的原因便是:物質粒子在空間中的分布是機率性的,而此機率分布又具有波動的特性。

根據德布羅意(de Broglie)提出物質波(matter wave)的概念,認為物質同時具有粒子與波動的特性,而物質波的波長 $$\lambda$$ 滿足等式:

$$\lambda=\displaystyle\frac{h}{p}$$

其中 $$h$$ 為普朗克常數,$$p$$ 為動量。此外,用來計算物質波在空間中出現機率的所謂波函數 $$\Psi(x)$$ 則可由以下的波方程式來描述:

$$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\Psi(x)+V(x)\Psi(x)=E\Psi(x)$$

這是一維的非含時薛丁格方程式(time-independent Schrödinger equation), $$\hbar$$ 為化約普朗克常數,$$E$$ 是系統總能量。只要位能非無窮大,就一定可以解出波函數的解。即使總能量小於位能,也會有波函數存在,於是粒子就仍有在該區域中出現的機會。

我們也可以用以下更直觀的方式去解釋穿隧效應。先觀察圖2的電腦模擬動畫。

Fig 2-QM Scattering Animation

圖2 (陳義裕繪)

假設有一個粒子自左邊入射,它的能量(藍色直線高度)比紅色障礙的最高點之能量稍低,則此粒子在古典物理中是無法超越紅色障礙而跑到右側的。但該粒子遵守的是量子力學,其所對應的物質波(綠色)於進入到紅色障礙區的左側時,一定有部分穿透、部分反射,穿透部分接著就在位能較高的地方進行傳遞,直到當它撞到了紅色障礙的右邊界,此時又會有部分穿透、部分反射,而穿透的部分此後便可繼續朝右方傳播,這就是穿隧。

上面的圖像雖解釋了穿隧發生的可能,但波在位能較高的地方往右傳遞畢竟是十分辛苦的,每多走一步,它能出現在右方的機率就降低許多,要是障礙區域過寬,穿透的比例太低,穿隧效應可能就不那麼顯著了;除此之外,位能障礙越高,要穿透的機會也會越小。

總而言之,理論上只要位能障礙不是無限大、寬度不是無窮寬,都會有穿隧的現象,經過計算,穿隧的比例滿足:

$$T=e^{\displaystyle-\frac{2}{\hbar}\int^a_0\sqrt{2m(V(x)-E)}\mathrm{d}x}$$

其中 $$a$$ 是位能障礙的寬度。由這公式中也可以清楚看到,$$V(x)$$ 越大,或者 $$a$$ 越大,$$T$$ 都會變小,滿足上述的討論。但是公式中也可以清楚看到,有一個數值非常小的 $$\hbar$$ 在那裏,故對巨觀的系統來說,穿隧的機率都趨近於零,所以我們平常幾乎看不到穿隧現象,但如果我們把 $$a$$ 也弄得很小,$$V(x)$$ 不要太大,這樣穿隧效應就越來越顯著。

量子力學的根本假設幾乎就造就穿隧效應的必然,穿隧效應被發現之後,對於科技應用產生很多新的想法,其中掃描穿隧顯微鏡(scanning tunneling microscope, STM)就是一個例子,這個顯微鏡的發明讓我們能對於微觀的尺度做更深入的探究。

參考文獻

  1. 維基百科. Quantum tunneling. http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_tunnelling
  2. Griffiths, D. J. (2004). Introduction to quantum mechanics(Chapter 8. WKB approximation), 2nd edition. Pearson Prentice Hall.

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