插值多項式的教與學問題(Teaching and Learning Issues on Interpolation Polynomial)

插值多項式的教與學問題(Teaching and Learning Issues on Interpolation Polynomial)
台北市立西松高中蘇惠玉老師\國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

99課綱中最為數學教師不解與頭痛的問題，應該就是插值多項式了。在課綱的 應該就是插值多項式了。在課綱的 專刊說明中提到：

在一般多項式的應用中有兩個課題，一是多項式的求值，一是插值多項式。原則上多項式可以透過四則運算求值，也因為如此，多項式被用來逼近一般函數，並用來求一般函數的近似值。另外，多項式也被用來作為插值的工具。插值的方法很重要，它用少量的數據表現連續型的資訊，展現數學的效率與精確性。

在以除法為核心方法來處理多項式問題的精神下，新課綱強調的是數學「化繁為簡」的精神。

然而關於插值多項式，有幾個點不管從教師的教學或學生的學習角度來看，都是很難理解的，譬如：

1. 插值多項式被放入教材中的正當性，來自於課綱中所要強調的多項式的應用：「多項式被用來逼近一般函數，並用來求一般函數的近似值」。對學過高等微積分的數學教師們，理解與認同這一點，當然不成問題，但是，對函數只有學過一次、二次及 $$y={x^3}$$，$$y={x^4}$$ 的高一學生而言，這句話簡直如同天書一般難以理解！課綱似乎也只要求學生知道這個結果就好了。然而，數學老師又該如何對一些較好學與好問的學生解釋？好像也只能跟學生講：「你以後學到更高深的數學就懂了。」在幾乎是高一上學期開學後的第二個月，就下這樣的猛藥好嗎？
2. 假設學生都能接受用多項式去逼近一般函數，接下來就是「插值多項式」名詞的解釋。教師必須自已理解何謂「插值多項式」，它的數學意涵是什麼？該如何解釋給學生瞭解？所謂「插值多項式」，筆者的理解為利用已知點，來逼近一般函數的多項式函數。
3. 在瞭解何謂「插值多項式」之後，在課綱中強調教師必須讓學生瞭解「$$f(x)$$ 除以 $$(x-a)(x-b)$$ 的餘式為通過$$(a,f(a)),(b,f(b))$$ 的插值多項式」。
   何意？因為多項式 $$f(x)$$ 除以 $$(x-a)(x-b)$$ 的餘式 $$r(x)$$ 為一次式，且$$x=a$$時，$$r(a)=f(a)$$，$$x=b$$時，$$r(b)=f(b)$$，因此餘式 $$r(x)$$ 為通過 $$(a,f(a)),(b,f(b))$$ 的一次多項式，也是通過 $$(a,f(a)),(b,f(b))$$ 的割線，因此，可當成是已知 $$(a,f(a)),(b,f(b))$$ 時，用來逼近 $$f(x)$$ 的多項式，也就是說，可以用來求在 $$x=a$$ 與 $$x=b$$ 之間的 $$f(x)$$ 的近似值。
   
4. 接著，過三點的插值多項式。首先，通過三點 $$(1,1),(2,3)(3,7)$$ 的多項式可假設成 $$f(x)=a+b(x-1)+c(x-1)(x-2)$$。這樣的假設，來自一個多項式除以 $$(x-1)(x-2)(x-3)$$ 的餘式，學生並不那麼容易瞭解這樣的假設方式，以筆者的教學經驗，在教學中大概會有一半以上的學生不能馬上理解，即使接受了，也因為不夠自然而容易忘掉。同時，這樣的假設形式又如何與函數的近似值作連結？再者，過三點 $$(1,1),(2,3)(3,7)$$ 的「插項多項式」，為何要以這麼複雜的形式表示：$$f(x)=\displaystyle 1\times\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}+3\times\frac{(x-1)(x-3)}{(2-2)(2-3)}+7\times\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}$$

如何讓學生建立學習動機與建構出學習意義？我們似乎只能以後見之明，跟學生說「這樣的假設方式合乎條件」而已！另一個問題，是通過三點 $$(1,1),(2,3)(3,7)$$ 的「多項式」與過三點 $$(1,1),(2,3)(3,7)$$ 的「插值多項式」有何差別？找出來的多項式表徵不同，但是，又可利用這兩個多項式來證明唯一性（也就是這兩個多項式相同），即然如此，又何必學這麼困難的拉格朗日差值多項式呢？所此，如果學生有這樣的問題，身為教師的我們是否可以解釋得清楚這兩者的差別，以及強化學生的學習動機呢？

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