對數律（Logarithmic law）

對數律（Logarithmic law）
國立北門農工職業學校數學科李建老師／國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

由對數定義 $$\log_ax=y$$（$$a>0$$ 且 $$a\neq{1}$$，$$x>0$$）可以表達出和 $$x=a^y$$ 一樣數學式子的意義。而從中文字面意義上，對數就是計算出 $$x$$ 可以表示成 $$a$$ 的多少次方？隱含消去法則 。下表例子更可以很清楚表示出這消去法則的關係式子：

而當我們觀察 $$\log_2(2^3\cdot{2}^5)$$、$$\log_2{2}^3$$ 和 $$\log_22^5$$ 關係時，借由單一個對數值是表達求次方，而當真數是兩個數相乘為一個數，去取對數值時，剛好等於這兩個數各別對數值之和，而這也是對數化乘為加的妙用之處。

對數律第一個性質也就是就介紹此一特性，更一般的數學式子，即當 $$a>0$$ 且 $$a\neq{1}$$，$$x$$ 和 $$y$$ 都為正實數時，有 $$\log_a({x}\cdot{y})=\log_ax+\log_ay$$。

也就是說當 $$\log_ax=s$$ 時，$$x=a^s$$；$$\log_ay=t$$ 時，$$y=a^t$$，
就可以由 $$\log_a({x}\cdot{y})=\log_a(a^s\cdot{a}^t)=\log_aa^{s+t}=s+t=\log_ax+\log_ay$$
將此性質推導出來。

有上述，乘化為加的第一性質，那自然而然會聯想到，對數是否也可以將除化為減嗎？
也就是 $$\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay$$，而這也正是對數律第二個性質，其邏輯推導方式和第一性質類似，就請容許我們將其留為給各位自行驗證。

那對數第三個性質呢？
將直數的次方化為對數值的倍數，也就是 $$\log_ax^r=r\cdot\log_ax$$（$$r$$ 是實數）。
從最初始 $$\log_ax=s$$ 定義，我們可以知道 $$x=a^s$$，
所以 $$\log_ax^r=\log_a(a^s)^r=\log_aa^{s\cdot{r}}=s\cdot{r}=r\cdot{s}=r\cdot\log_ax$$。

最後，我們將對數律三個性質整理如下：

設 $$a>0$$ 且 $$a\neq{1}$$，$$x$$ 和 $$y$$ 都是正實數，$$r$$ 是任意實數，則

• $$\log_a(x\cdot{y})=\log_ax+\log_ay$$
• $$\displaystyle\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay$$
• $$\log_ax^r=r\cdot\log_ax$$