仰角（Angle of Elevation）

仰角（Angle of Elevation）
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

三角測量法中，眼睛往上看目標物時，視線與水平線間的夾角稱為仰角，如圖一所示，而仰角的求法可以透過仰角器或天文仰角儀得到。

例如：圖二所示為臺灣地區的最高大樓－台北101，由距離台北101底 $$295$$ 公尺地上的一點，測得台北101的仰角是 $$60^\circ$$。求台北101的高度。（答案準確至最接近的整數。）

解法：如圖二所示，因為線段 $$AC$$ 為 $$295$$ 公尺，且 $$\angle{ACB}=60^\circ$$，利用正切函數的定義，得台北101的高度 $$\overline{AB}=\overline{AC}\cdot\tan{60^\circ}=295\cdot\sqrt{3}\approx 295\cdot 1.732 = 510.94$$ 公尺，近似值約 $$511$$ 公尺。

利用仰角來測量建築物，是一般常見的方式，但是，如果建築物不是直立於地面，那麼在測量時，就必須多一些巧思，例如：量測比薩斜塔（Pisa Tower）塔頂及塔底分別為 $$A$$、$$B$$，今在地面上與 $$B$$ 點共線的兩點 $$P$$、$$Q$$ 測得塔頂 $$A$$ 點的仰角均為 $$28^{\circ}50’$$，且測得 $$\overline{PQ}=105.3$$ 公尺，$$\overline{QB}=94.7$$ 公尺，若塔頂 $$A$$ 點在地面上的正射影 $$H$$ 點及塔底 $$B$$ 點均在 $$\overline{PQ}$$ 上，如圖三所示，則請問比薩斜塔 $$\overline{AB}$$ 與鉛直線的夾角度數？

解法：如圖三所示，因為 $$\overline{PH}=\frac{\overline{PB}+\overline{BQ}}{2}=100$$ 公尺，且 $$\overline{HB}=\frac{\overline{PB}-\overline{BQ}}{2}=5.3$$ 公尺，利用正切函數的定義，得 $$\overline{AH}=100\cdot\tan28^{\circ}50’=100\times{0.5505}=55.05$$ 公尺，而 $$\cot\angle{HAB}=\frac{55.05}{5.3}\approx{10.386}\approx\cot{5}^{\circ}30’$$，因此，比薩斜塔 $$\overline{AB}$$ 與鉛直線的夾角度數約 $$5^{\circ}30’$$。

仰角應用在中國測量術，最有名的當推《海島算經》，其第一問為測海島問，此書因而得名，題目中利用仰角與固定表的概念解題。題目如下：

今有望海島，立兩表，齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合。從後表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合。間島高及去表各幾何？

術曰：以表高乘表間為實，相多為法除之，所得加表高，即得島高。求前表去島遠近者，以前表卻行乘表間為實，相多為法除之，得島去表數。

此測海島問的題意如圖四，其中 $$\overline{AB}$$、$$\overline{CD}$$ 為兩表，$$\overline{PQ}$$為島高：

參考資料

郭書春主編($$1993$$).《中國科學技術典籍通彙－數學卷》卷一，頁$$1-218$$。

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