複數 (Complex number)

複數 (Complex number)
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

「哪一個數的平方會是 $$-1$$？」一般人的生活經驗中根本不會遇到這樣子的數，就算是用一般用的計算機，怎麼按也按不出來。不過，確實有這樣子的數，我們把平方等於 $$-1$$ 的數記作 $$\sqrt{-1}$$，並用「$${i}$$」來表示 $$\sqrt{-1}$$，即 $$i^2=-1$$，「$$i$$」就稱為「虛數單位」。

從此，平方之後等於一個負數的，或是偶數次根號之中為負數的，都可以用「$$i$$」來表示。例如平方之後等於 $$-2$$ 的數就記作 $$\sqrt{-2}$$，則 $$\sqrt{-2}=\sqrt{2}\times\sqrt{-1}=\sqrt{2}i$$，平方就得 $$(\sqrt{2}i)^2={\sqrt{2}}^2\cdot{i}^2=2\cdot(-1)=-2$$。至於在人類歷史上，虛數 $$\sqrt{-1}$$ 是怎麼誕生的，在此不多作說明，有興趣的讀者可以參閱陳鳳珠的〈虛數 $$\sqrt{-1}$$ 的誕生〉。

有了虛數單位之後，我們就可以將數系從現有的實數系擴充成「複數系」。複數就是可以寫成 $$a+bi$$ 的數，其中 $$a,b$$ 均為實數， $$i=\sqrt{-1}$$ ， $$a$$ 就稱為此複數的實部，$$b$$ 就稱為此複數的虛部。由此，先前熟悉的實數（包括正整數、$$0$$、負整數、有理數、無理數）統統可以寫成$$a+bi$$的形式，所以實數是複數中的一部分。例如$$1$$，$$0$$，$$-2$$，$$\frac{1}{3}$$，$$\sqrt{5}$$ 分別可寫成 $$1+0i$$，$$0+0i$$，$$-2+0i$$，$$\frac{1}{3}+0i$$，$$\sqrt{5}+0i$$。換句話說，複數中虛部為 $$0$$ 的數，就是實數。虛部不為 $$0$$ 的數，如 $$1+2i$$，$$0+\sqrt{3}i$$，$$-2+(-4)i(=-2-4i)$$，$$\sqrt{5}+\sqrt{6}i$$ 統統稱為虛數，而其中 $$0+\sqrt{3}i$$ 更為特別，它的實部為 $$0$$，這種實部為 $$0$$ 的虛數，我們給他一個名稱，叫作「純虛數」。複數、實數、虛數、純虛數的位階關係，可表示成

至於複數的四則運算，則和實數的運算略有不同，以 $$a+bi$$ 與 $$c+di$$ 作說明，其中 $$a,b,c,d$$ 均為實數：
（1）加法：$$(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i$$，即實部加實部，虛部加虛部。
（2）減法：$$(a+bi)-(c+di)=(a-b)+(c-d)i$$，即實部減實部，虛部減虛部。
（3）乘法：$$(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$，相當於用乘法分配律展開。
（4）除法：$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)\cdot(c-di)}{(c+di)\cdot{(c-di)}}=\frac{(ac+bd)+(-ad+bc)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{-ad+bc}{c^2+d^2}i$$。

遇到複數的四則運算一定要遵照上述的方式才行，若隨意照以往的經驗便宜行事，那很可能就會和偉大的數學家歐拉（Leonhard Euler,1707~1783）犯同樣的錯誤了。

歐拉曾將 $$\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}$$ 寫成 $$\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}=\sqrt{(-2)\cdot(-3)}=\sqrt{6}$$，這並不正確，正確的計算應是 $$\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}=\sqrt{2}i\cdot\sqrt{3}i=(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3})\cdot{i}^2=\sqrt{6}\cdot(-1)=-\sqrt{6}$$。

在複數的除法中，我們將分子分母同乘以 $$c-di$$，如此一來分母就變成實數了，這個 $$c-di$$，我們就稱為 $$c+di$$ 的「共軛複數」，反過來，$$c+di$$ 也是 $$c-di$$ 的「共軛複數」。用符號來表示的話，$$c+di$$ 的 共軛複數記為 $$\overline{c+di}$$，$$c-di$$ 的共軛複數記為 $$\overline{c-di}$$，故 $$\overline{c+di}=c-di$$，$$\overline{c-di}=c+di$$。

若每次遇到複數就要寫成 $$a+bi$$ 的樣子，這還挺不方便的，因此，我們常用 $$z$$ 來代表複數。如此一來，複數 $$z$$ 的共軛複數就記為 $$\overline{z}$$。例如 $$z=2+(-3)i=2-3i$$，$$\overline{z}=\overline{2-3i}=2+3i$$。共軛複數還有以下的運算性質，留給讀者自行驗證。

1. $$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$$
2. $$\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$$
3. $$\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$$
4. $$\displaystyle\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$