牛頓擺

牛頓擺 (Newton’s Cradle)
國立臺灣師範大學物理系曾鈺潔碩士生/國立臺灣師範大學物理系蔡志申教授責任編輯

牛頓擺是一個常見的桌面演示裝置，由五個質量相同的球體由吊繩固定，彼此緊密排列。

牛頓擺最早是在 1676 年由法國物理學家埃德姆．馬略特（Edme Mariotte）提出，而在 1960 年代發明的桌面演示裝置。因為該裝置利用堅固的吊繩吊起五個質量相同的球體，而將球體的運動限制在一維上運動，所以當最右側的球被拉高並自由釋放後，在回擺至原位置時會與第二顆球碰撞，而奇妙的事情就這麼發生了—中間緊密排列的球並沒有因為碰撞而擺盪的現象，只有最左側的球會被彈出，且在最左側的球回擺後發生同樣的事情—僅有最右側的球體彈出，中間緊密排列的球絲毫不動。

為什麼牛頓擺會展現這麼奇特的現象呢？仔細回想牛頓擺裝置的限制，就會知道它其實可以用簡單的一維彈性碰撞解釋。

一維的彈性碰撞，會遵守力學能守恆、動量守恆。一般公式如下：

動量守恆：$$m_1v_1+m_2v_2=m_1v^{‘}_1+m_2v^{‘}_2$$

力學能守恆：$$\frac{1}{2}m_1v^2_1+\frac{1}{2}m_2v^2_2=\frac{1}{2}m_1{v^{‘}_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v^{‘}_2}^2$$

經過解聯立方程後可得結果：

$$v^{‘}_1=\displaystyle\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2$$，$$v^{‘}_2=\displaystyle\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2$$

若兩球質量相同 $$m_1=m_2$$，可得到簡單的結果：$$v^{‘}_1=v_2$$、$$v^{‘}_2=v_1$$。

回頭看牛頓擺裝置，球體不僅限制在一維上運動，還是五個質量相同的球體（$$m_1=m_2=m_3=m_4=m_5$$），因此可以大大減化碰撞的情形（如圖三）：

1. 剛開始拉起最右側的 $$1$$ 號球，當球體落下碰撞到 $$2$$ 號球前，具有速度 $$v_1$$，同時 $$2$$ 號球之速度 $$v_2=0$$。
2. 當 $$1$$ 號、$$2$$ 號兩球發生碰撞後，因為兩球質量相同，故可得 $$v^{‘}_1=v_2=0$$、$$v^{‘}_2=v_1$$。
3. 由於球體彼此緊密排列，當 $$2$$ 號球擁有向左的速度 $$v^{‘}_2$$ 時，隨即與 $$3$$ 號球（速度 $$v_3=0$$）產生碰撞。同樣因為兩球質量相同，故 $$v^{”}_2=v_3=0$$、$$v^{‘}_3=v_1$$。
4. $$4$$ 號球的情況也是如此，直到第 $$5$$ 號球，當和 $$4$$ 號球碰撞後得到速度 $$v^{‘}_5=v_1$$ 後，因為左側再也沒有球體與之碰撞，所以將以速度 $$v_1$$ 作運動而向上擺盪。

當明白牛頓擺可以簡單的以一維彈性碰撞解釋後，是否會好奇如果同時拉起兩顆球體將之自由釋放，原本靜止的球體還可以繼續保持靜止嗎？依類推的方式可以猜測最中間的球仍保持靜止，而另一側的兩顆球會同時撞起…。那拉起三顆球呢？四顆球呢？好像變複雜了呢…不如看看實際牛頓擺擺盪的情況，驗證一下猜測的結果吧！
http://140.122.141.9/~haha90/content/fun_exp/index.htm
（請點選左側選項：— 動力學 — 牛頓擺。源自於：好好玩物理網  潘冠錡老師的網站）

看完了影片後，是否覺得和想像中的有些許差距呢？其實實際的牛頓擺無法完全做到各個球體質量相等，這影響著理論計算中，原本保持靜止的球體也跟著擺動（帶有速度），碰撞的公式就會變得複雜，甚至會有相鄰兩球速度方向相反而對撞的情況發生。若覺得難以想像，不妨點選以下聯結–
http://www.phy.ntnu.edu.tw/demol … pic.php?topic=19870
（源自於：黃福坤教授，國立台灣師範大學物理系  物理教學示範實驗教室  物理問題討論區）
這裡能改變參數加以控制，模擬出理論與真實情況的動畫，動畫中還附上球體碰撞前後的速度（以箭號表示），以最直接的方法拆解牛頓擺的運動方式。

參考資料
1.維基百科–牛頓擺  http://zh.wikipedia.org/zh-tw/牛頓擺
2.牛頓擺，中興大學物理系  普物演示廳  http://ezphysics.nchu.edu.tw/physiweb/device/exp3.htm
3.好好玩物理網  潘冠錡老師的網站 → 趣味實驗 → — 動力學 — 牛頓擺，http://140.122.141.9/~haha90/content/fun_exp/index.htm
4.牛頓擺模擬動畫，黃福坤，國立台灣師範大學物理系  物理教學示範實驗教室→物理問題討論區→物理動畫→動力學→牛頓擺模擬動畫  http://www.phy.ntnu.edu.tw/demol … pic.php?topic=19870