《九章算術》：東方數學經典

《九章算術》：東方數學經典 (Jiu Zhang Suan Shu: Mathematical Classic in East Asia)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

公元一二六一年，榮綮為南宋楊輝《詳解九章算術》寫序時曾說：「九章為算經之首，概由儒者之六經，醫家之難素，兵法之孫子歟。後世學者，有倚其門牆，瞻其步趨，或得一二者，以能自成一家之言。」這幾句話真是道盡了《九章算術》對中國古代數學的影響。

事實上，凡是對它稍有涉獵者，總是忍不住拿它對比《幾何原本》，譬如日本數學史家小倉金之助就曾賦予《九章算術》高度評價：「《九章算術》是中國的數學基本書，其中含有優秀的數學方法。如與希臘數學比較，在幾何學級數論方面稍見遜色，但在算術及代數方面，我確信凌駕於希臘數學之上。」

相對於《幾何原本》之嚴謹論證公設體系，《九章算術》本身只是一本問題集，其形式頗類於古埃及的《莫斯科紙草》（Moscow Papyrus），怎會有那麼大的魅力呢？或許它的內容可以透露一點訊息。

譬如說吧，它就包括了與輾轉相除法一致的「約分術」；與《莫斯科紙草》所載完全相同的截頂方錐體積公式（《九章算術》稱此一立體為「方亭」或「方台」）；以及與聯立一次方程組的矩陣解法如初一轍的「方程術」（或高斯消去法 Gaussian elimination）。說得風雅一點，這種特質可以說是既古典又先進，無怪乎中國數學史家始終對它「一往情深」了。

《九章算術》全書共有246道題，分別編入方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程以及勾股等九章。實質上，它是一本分門別類的官僚數學手冊。前六章按問題的性質來分類，後三章則以數學方法為準。至於其數學內容，則或可追溯到先秦時期。它的編纂過程與體例的形成，一方面配合了當時社會的需求，譬如對比西漢初地方小吏抄寫的《筭數書》，可以益證此一特性，另一方面，也反映了特定的學術思想之旨趣。

根據史家研究，孔門繼承周代城邦家臣傳統而來，其「世傳六藝之教：禮、樂、射、御、書、數，恐怕是結集歷史經驗的結果，也應乎當時需要。習禮樂以為相，練射御以治軍，操書數便去當家臣。」因此，對於封建時代的家臣到秦漢大一統以後的官吏，學習數學不過是他們干祿的途徑之一吧。影響所及，對於中國傳統士大夫，數學充其量只是一種遊藝活動，千萬不得當真！南齊顏之推的《顏氏家訓》說得好：「算術亦是六藝要事，自古儒士論天道、定曆律者皆學通之，然可以兼明，不可以專業。」

儘管士人難得將數學視為安身立命之道，但《九章算術》畢竟是周秦西漢數學知識的總結，自有其可觀的內容。大致說來，在初等數學的範疇內，它所給出的方法都具備了現代意義。換言之，只須換個形式，它的內容就可立刻納入現代數學的一部份。

在算術方面，《九章算術》已經確立分數四則運算，並給出約分與通分法則。此外， 它也處理各色各樣的比例問題，並且正確地指出一次方程的算術解法 － 盈不足術。在幾何方面，《九章算術》列出許多與土地丈量有關的面積公式，以及和土木建築有關的體積公式，除極少數給出不夠精密的近似值之外，其餘大都正確。另外，也利用勾股定理解決包括測量的應用問題。至於代數方面，已有完整的「開平方術」與「開立方術」，以及聯立一次方程組的高斯消去法。

至於《九章算術》與《筭數書》之關係，鑑於許多問題及其解法的雷同，我們或可猜測兩書可能共享了一個筭數文化。也就是說，這兩本書都抄自一些共同的文本，然後，《筭數書》維持撮編的形式，至於《九章算術》則有幸經過系統整理，而逐漸演化成為南宋印刷本 － 此一倖存最早版本僅存前五章 － 的風貌。不過，這些都有待進一步的研究。

參考書目

1. 洪萬生、林倉億、蘇惠玉、蘇俊鴻 (2006).《數之起源》，台北：台灣商務印書館。
2. 郭書春 (2009).《九章算術譯注》，上海：上海古籍出版社。