高斯定律（Gauss’s Law）

高斯定律（Gauss’s Law）
台中縣立中港高級中學物理科王尊信老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

所謂高斯定律也被稱為高斯通量定理(Gauss’s flux theorem)，主要是關於電荷與其建立電場之間的關係，內容描述：通過任何封閉表面的電通量與封閉面積內的電量成正比。

高斯定律是由高斯(Carl Friedrich Gauss)在1835年所提出來的，但一直到1867年才被發表。

在高中物理的課程並沒有包含高斯定律，只有它等價的原式~庫侖定律，兩者可以用散度定理(divergence theorem)來互推。大學電磁學裡，高斯定律是馬克斯威四大方程式(Maxwell equation)之一，主要說明了電荷是電場的來源。高斯定律需要需要先定義一個封閉區面(enclosed area)，稱為高斯面(Gaussian surface)，在對這個區面作面積分(surface integrals)，因為牽涉微積分，故到了大學才學到，但使用高斯定律可以大幅簡化求電場的過程，因此在後續課程中是一項重要的技術。

高斯定律可以有兩種表示方式：積分形式(integral form)與微分形式(differential form)。積分形式是：\(\displaystyle\oint_S E\cdot dA=\frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}\)，代表電場對封閉區面作積分等於封閉區面內的電量除以真空容電率(vacuum permittivity)。微分形式是：\(\displaystyle \bigtriangledown\cdot E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\)，代表電場的散度等於體電荷密度(volume charge density)除以真空容電率。兩者也可以用散度定理或稱為高斯定理來互推。 在積分形式中，電場對面積積分可以被定義為通過S區面的電通量(electric flux through S)。

對線性介質(linear medium)而言，因為是齊次(homogenous)、均向(isotropic)，所以可以定義電位移場(electric displacement field)D為：\(\varepsilon E=D\)，因此高斯定律可以表達為微分形式：\(\bigtriangledown\cdot D=\rho_{free}\)與積分形式：\(\displaystyle \Phi_{D,S}=\oint_S D\cdot dA\)，\(\Phi_{D,S}=Q_{f,V}\)。微分形式表示電位移場的散度等於自由電荷密度(free electric charge density)，不包含束縛電荷密度(bound electric charge density)。而積分型式表示電位移場的面積分等於區面內包含的自由電荷。 在磁學與力學，也可以寫成對應的磁學高斯定律(Gauss’s law for magnetism)與重力高斯定律(Gauss’s law for gravity)。磁學的高斯定律因磁量觀念表示不方便，因此也少被提及。至於重力高斯定律，它也等價於萬有引力定律(the inverse-square Newton’s law of gravity)，故也少見。

參考資料:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_law