中國的測量術(上) (The Measurement in China I)

中國的測量術 (上) (The Measurement in China I)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要：本文介紹中國的測量術。

一談起測量方法，大家腦中馬上浮現「三角測量」─藉助三角函數的幫助，我們只要測量出某些長度及角度，就能處理那些我們無法實際量測的問題。這也是數學教師在三角函數的學習上，用來強化三角函數學習「正當性」的最佳理由。

事實上，每個文化在某些特殊條件的限制下，可能發展出不同於我們現有既存的概念或策略。比如說，中國古代缺乏一般角的概念，因此今日我們所熟知的三角學理論並沒有在中國發展起來。不過，中國仍建立起非常發達、程度極高的測量技術。由於藉助直角三角形(勾股形)來處理，這樣的方法稱之為『勾股測量』。我們可由測量工具的使用來支持這樣的看法，傳統上的工具有兩種：一是矩；另一是表。矩是彎曲成直角的曲尺；表是垂直的量杆，都是為了構造出勾股形而使用的。之後中算家在勾股測量的基礎上，改進技術與方法，造出『重差法』。本文是對勾股測量一個初步的介紹。

測量技術的發展，離不開實際應用的需要，如天文的觀測、建築工程、土地丈量及地圖的繪製等。因此，勾股測量在中國發展極早。以中算史上重要的典籍《九章算術》來說，卷九〈勾股章〉談的便是與勾股形相關的問題。全章共 24 個問題，其中第 16~23 個問題便是測望問題。試舉其中第19 問：

第 19 問 今有邑方不知大小，各中開門。出北門二十步有木，出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木，問邑方幾何？

第 19 問的題意如圖一，為便於表示，筆者用現在的數學符號輔以說明劉徽的注解。

首先是運用「率」的觀念：

設邑方 $$\overline{DE}=x$$，則 $$\overline{AC}$$ 為股，$$\overline{BC}$$ 為勾，$$\overline{BD}$$ 為勾率，$$\overline{FD}=\displaystyle\frac{1}{2} x$$ 為股率。

則 $$\begin{array}{ll}\overline{AC}:\overline{BC}=\overline{FD}:\overline{BD}&\Rightarrow 1775:(20+x+14)=\displaystyle\frac{1}{2}x:20\\&\Rightarrow x^2+34x=71000\end{array}$$

由上可知，主要的關鍵在於這個關係式 $$\overline{AC}:\overline{BC}=\overline{FD}:\overline{BD}$$。這個關係的成立，眼明的讀者或許會猜測：它是奠基在直角三角形△ABC與直角三角形△FBD的相似。然而，筆者在此必須強調：當時的中算家是沒有一般角度的概念，也沒有平行線性質的探討，因此，也沒有相似形的理論的建立。那麼劉徽是如何找到這個關係式呢？可惜的是，劉徽的最初想法已經佚失，無從進一步的了解。所幸數學史家們在南宋楊輝所著的《續古摘奇算法》卷下，看見劉徽可能想法的最完整之還原：

由圖二，可以清楚地看到長方形ABCD由對角線平分成兩個直角三角形。

由於正方形AGEH及正方形EICF也被平分成兩個直角三角形。

所以長方形 HEFD 面積
$$=\Delta{ACD}-\Delta{AEH}-\Delta{ECF}$$
$$=\Delta{ACB}-\Delta{AEG}-\Delta{ECI}$$
$$=$$ 長方形 GBIE 面積

故

$$a_1b_2=a_2b_1\Rightarrow a_1:b_1=a_2:b_2$$

這個「勾中容橫，其一股中容直，二積二數皆同。」的性質在中算的勾股問題中，有著重要的作用。筆者認為這個利用面積關係來尋求兩個勾股形比例關係，是一個很有趣並且值得在課堂演示的作法。除了讓學生體會到即使省略相似形理論，比例關係仍可作出的巧思外；也讓學生了解在不同的文化脈絡下，知識的成長是可能擁有不同的風貌。

此外，由上述問題的解法來看，常見的測量問題，不全然需使用三角測量的作法，只要構造出適當的直角三角形，測量長度，就可以間接量出我們要的目標，省卻角度的度量，反倒是可以提高測量的準確性。除了上述與生活有關的測量問題外，在天文觀測上，古代曆算家也是利用勾股測量的方法來測量太陽的高度及太陽的大小。更進一步地，改良勾股測量的方法，這就是接下來筆者所要談的『重差法』。不過，限於篇幅，就請讀者下回分曉囉！

連結：中國的測量術(下)

參考文獻：

1. 李國偉(1984)。〈初探「重差」的內在理路〉，《科學史通訊》第三期。
2. 吳文俊(1982)。〈我國古代測望之學重差理論評介兼評數學史研究中某些方法問題〉，收入《科技史文集》第八輯。
3. 郭書春主編(1993)。《中國科學技術典籍通彙‧數學卷一》，鄭州市︰河南教育出版社。
4. 郭書春譯注(1998)。《九章算術》，瀋陽：遼寧出版社。
5. 郭書春(1995)。《古代世界數學泰斗–劉徽》，台北：明文出版社。
6. 傅大為(1988)。〈論《周髀》研究傳統的歷史發展與轉折〉，《清華學報》新十八卷第一期。
7. 劉鈍(1993)。《大哉言數》，瀋陽：遼寧出版社。
8. 錢寶琮(1981)。《中國數學史》，北京：科學出版社。