奇怪的「若P則Q」（二）（The Odd Material Implication II）

奇怪的「若P則Q」（二）（The Odd Material Implication II）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授

連結： 奇怪的「若P則Q」（一）

摘要：本文討論對於實質蘊涵的質疑與辯護。

如前一篇所述，「若 \(P\) 則 \(Q\)」的實質蘊涵規則很簡單，但也因此造成一些令人質疑的缺點：

1. 實質蘊涵的重點既然是所有命題彼此之間都具有蘊涵關係，因此等於改變了日常生活經驗中的「推理」意義，讓蘊涵本身「由前提推導出結論」的推理氣息，消失殆盡。
2. 看看推理小說中抽絲剝繭破案的偵探，或者努力尋求新知的數學家或科學家，推理本身的趣味在於從已知推出未知，這是求取知識的正常樣態，也是好奇的人（包括科學家、數學家、哲學家、思想家）所共享的經驗。但是，實質蘊涵的判斷本身需要先知道真假值，這似乎和「從已知到未知」的推理意義違反。
3. 在幻想小說中有許多假設的場景，雖然和現實不合（因此為假），但是在這種可能世界中，仍然有它本身的世界規則，因此在幻想世界中做推理，並不是任何推理都是真，這和實質蘊涵的規則衝突。
4. 實質蘊涵所得到的「定理」中，有一些很奇怪的「規則」，例如
   \(P\Rightarrow (Q\Rightarrow P)\)  （任何命題都可以推導出真的命題）
   ～\(P\Rightarrow (P\Rightarrow Q)\)   （假命題可以推導出任何命題）
   \((P\wedge\) ～\(P)\Rightarrow Q\) （如果有矛盾，則任何命題都是對的）

追根究底，我們希望找到一種推理（蘊涵），使得它真的能從前項推理出後項，至少後項不應該和前項在內容上毫無關連。

回答這個問題，促進20世紀邏輯學科的發展，例如Lewis在推理中加入「必然」「可能」的新邏輯詞，強調「若 \(P\) 則 \(Q\)」相當於「\(P\wedge\)～\(Q\) 不可能」，促成了模態邏輯的發展。另外也有學者強調推理的前後項至少要有共同的部份，從而發展出相干邏輯。但從結果看這些努力都沒有達成這個目標，它們不但更抽象繁瑣，而且仍然不能充分反映出日常語言中的推理意涵。

這個困境，其實反映了一個很根本的邏輯學問題，如果邏輯的本質，是掌握日常語言的某種形式化精髓，就不太可能同時反映實質內容的相關性，這兩者似乎是自我矛盾的要求。但一旦邏輯脫離日常語言的框架，那麼就變成所有規則都可以試試看，重點就會變成「有沒有用」的實用考量。

實質蘊涵的鬆散缺點，換一個角度看，其實反而有著彈性比較大的優點。

首先，推理的核心目標是要保證從正確的前提推理出正確的結論，以及不能從正確的結論反而得出錯誤的結論，這些其實都充分表現在實質蘊涵的真值表中。實質蘊涵比較重要的成就，是能夠簡單的呈現出重要的推理規則，例如

\(P\wedge (P\Rightarrow Q)\Rightarrow Q\)  （modes ponens肯定前件）
\(P\Rightarrow Q\Leftrightarrow(\)～\(Q\Rightarrow\) ～\(P)\)   （反證法）
\((P\Rightarrow(Q\wedge\)～\(Q))\Rightarrow\)～\(P\)  （歸謬法）
\(((P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow R))\Rightarrow(P\Rightarrow R)\)  （推理的遞移）

利用高中生能懂得真值表就能說明這些常見的推理規則，當然是優點。一旦我們將實質蘊涵（以及他所附屬的命題演算）的重點，放在學習這些推理規則，以保證推理的形式正確性，而不是將「若 \(P\) 則 \(Q\)」當做理解如何由 \(P\) 推理出 \(Q\) 的方法，當然就不用太介意給定真假值所帶來的困擾。

其次，我們要先強調，前述的實質蘊涵怪論只是怪，但並沒有造成思想錯誤的災難。這些怪論事實上更加強了推理時，由正確前提推導出正確結論的思想目標。\(P\Rightarrow(Q\Rightarrow P)\) 是強調真命題，～\(P\Rightarrow(P\Rightarrow Q)\) 是拒斥假命題，而 \((P\wedge\)～\(P)\Rightarrow Q\) 這個從矛盾可以得出任何結果的歸則，恰恰反映出我們不希望思想系統中出現矛盾的期望。

而由於數學是一個講求思考正確性、嚴謹性、不該有矛盾的學科，實質蘊涵在數學中有著最健全與完善的應用，學習過數學的人都知道，我們的證明不是只有正面的推導，還經常用到反證法、歸謬法，這些都是從實質蘊涵就能看出的方法。另外前提是錯則推理顯然為真的結果，看似無用，但其實經常用在定義過程的特殊項，讓內容的呈現更為簡潔。因此要嚴謹的學習數學，熟悉實質蘊涵的推理意涵，仍然是好的入門之路。

至於可能幻想世界的問題，其實是強烈應和著內容相干性的要求，但有兩個回應方式削減了它的批評力道。如果我們嚴格看待可能世界的真實性，那麼顯然有一些命題本來就是在彼為真，在此為假，因此理應各自看待命題在各自世界的真假，而不需和我們的現實世界混為一談。

但是如果談的只是「如果韋小寶真的殺死鳌拜」「如果台灣仍然屬於日本」的假設性小說或文章，本來就可以編出正或反的結果，這反而加強了實質蘊涵規則的合理性。

總之，比起各種強調內容相干的強蘊涵系統，除非教師一直在命題中過份強調不相干的部分，不然實質蘊涵仍然是最容易上手學習的邏輯系統。

參考文獻：

1. 李國偉，真值蘊涵（Material implication, or truth-value implication），高瞻計畫中學教學資源平台。
2. Wikipedia，Material conditional，http://en.wikipedia.org/wiki/Material_conditional
3. Wikipedia，Paradoxes of material implication， http://en.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_of_material_implication