奇怪的「若P則Q」（一）（The Odd Material Implication I）

奇怪的「若P則Q」（一）（The Odd Material Implication I）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯

摘要：命題演算「若 \(P\) 則 \(Q\)」的真值表規則，經常困擾初學者。本篇討論這個規則。

早年高中數學教材由於受到「新數學」的影響，為了強調數學的嚴謹，多了一些邏輯的材料，後來一直延續下來。還記得高一剛入學時，看到類似底下的考題，真會令初見的人嗔目結舌：

下列哪些敘述為真：

（A）「如果日月潭在南投縣，則太陽從東方升起。」
（B）「如果日月潭在南投縣，則太陽從西方升起。」
（C）「如果日月潭在高雄縣，則太陽從東方升起。」
（D）「如果日月潭在高雄縣，則太陽從西方升起。」

答案中，就算是似乎比較顯然的（A）（B）也令人揣揣不安，更何況是（C）（D）。因為學生實在看不出來日月潭的位置與太陽從何方升起有任何關係。

學生並沒有錯，他們從小努力學習的不正是做正確的推理嗎？像這麼無厘頭的問題，竟然還有答案，他們大概只能把它當做玩笑或冷笑話。數學是教人推理的學問，而「若\(\cdots\)則\(\cdots\)」更是推理的基本形式，上面的問題難免令人納悶是不是負面教學，因為它套著「若\(\cdots\)則\(\cdots\)」的推理形式，卻完全看不到推理在哪裡？

上述「若 \(P\) 則 \(Q\)」的規則稱為「實值蘊涵」（material implication），李國偉先生建議將它譯為「真值蘊涵」，因為它是由 \(P\) 和 \(Q\) 的真假值所完全決定：

換句話說，實值蘊涵的要素是所有命題（具有真假值的敘述）彼此之間都有蘊涵關係，而且由真假值就可完全決定其推理之真假。這正是人們難以接受實值蘊涵的根本原因。其中尤以當 \(P\) 為假時，結果 \(Q\) 不論真假都成立的約定，質疑更大。

本篇先談談為什麼要這樣設定規則，下篇再回來談實值蘊涵的評議。第一種說明方法應該是老師最常用的方法，就是舉例說明此規則的合理性。例如

「若天空下雨，則馬路會濕。」

前兩個規則都沒有問題，而當天空沒有下雨時，馬路有可能濕，也有可能不濕，因此兩者都成立。這個解釋雖然有點勉強，但是至少是在「真正」的推理脈絡中。只要老師多舉一些真正在推理例子，學生就可以知道至少在這些正常的情況，這個規則是有道理的。

當然老師舉例時，要特別讓學生見識到，前項和後項中間的不對稱性，也就是後項的成立，不見得來自前項的成立。如果學生能領會這一點並牢記，日後至少比較能識破許多公共意見爭論時的詭辯。

習題：用下面的問題，讓學生知道在數學中，也有許多這樣的不對稱性：

（1）如果 \(a=1\)，則 \(a^2=1\)。
（2）如果 \(ABCD\) 是正方形，則其四內角皆為直角。
（3）如果 \(ABCD\) 是正方形，則其四邊彼此相等。

第二種方法是強調在推理中時最重要的是，絕對不能從真的前提，推論出假的結論，

也就是「\(P\) 且非 \(Q\)」絕對不可成立，因此將「\(P\Rightarrow{Q}\)」與下式

\((\)～\({P}{\wedge}\)～\({Q})\equiv\) ～\(P{\vee}Q\)

其中 ～ 表示「非」，\(\wedge\) 表示「且」，\(\vee\) 表示「或」。

因此可以套用比較顯然的「或」「且」真值表。這是李國偉先生在「真值蘊涵（Material implication, or truth-value implication）」一文的說明方式。

第三種，是強調實值蘊涵的價值在於說明邏輯的推理規則。

一方面當 \(P\) 為真時，我們都能接受「\(P\Rightarrow{Q}\)」真值表中這部份的規則。

同時，由日常生活的推理經驗，人們一定都相信 \(((P\Rightarrow{Q}){\wedge}(Q\Rightarrow{R}))\Rightarrow(P\Rightarrow{R})\) 這個表示一連串推理的根本規則，我們相信不論任何情況，這個規則一定都成立。

於是，由下面的真值表運算：
（永遠成立，表示不論 \(P\)、\(Q\)、\(R\) 的真假值如何，打 \(*\) 號那欄的 \(\Rightarrow\) 必須都為真）

1. 第一列，因為都是 \(\bf T\)，沒有任何問題。
2. 第二列，由於 \(Q\) 為 \(\bf T\)、\(R\) 為 \(\bf F\)，因此讓 \(\wedge\) 左右的雙項出現一個 \(\bf F\)，因此最後左項 \(\wedge\) 欄的真假值為 \(\bf F\)，但右項中 \(P\) 為 \(\bf T\)、\(R\) 為 \(\bf F\)，所以右項 \(P\Rightarrow{R}\) 最後的真假值為 \(\bf F\)，這表示我們必須規定前項為 \(\bf F\) 後項也為 \(\bf F\) 的若則真值為 \(\bf T\)。
3. 第三列，雖然 \(Q\Rightarrow{R}\) 的真假值待定，但因為 \(P\Rightarrow{Q}\) 的值為 \(\bf F\)，由 \(\wedge\) 的真值規則知道，左項最後的真假值為 \(\bf F\)，然而右項最後的真假值為 \(\bf T\)，這表示我們必須規定前項為 \(\bf F\) 後項為 \(\bf T\) 的若則真值為 \(\bf T\)。

習題：讀者可以驗證，後續所有真值可能性，最終 \(*\) 欄的真值皆為 \(\bf T\)。

習題：模仿上例，從另一個推理法則「\((P\wedge(P\Rightarrow Q))\Rightarrow Q\)」，也可以得到類似的結果。

由此可知，實質蘊涵的真值規定有其內在裡路可循，倒也不是無的放矢，只是似乎太寬鬆了一點。

連結： 奇怪的「若P則Q」（二）

參考文獻：

1. 李國偉，真值蘊涵（Material implication, or truth-value implication），高瞻計畫中學教學資源平台。
2. Wikipedia，Material conditional，http://en.wikipedia.org/wiki/Material_conditional
3. Wikipedia，Paradoxes of material implication，http://en.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_of_material_implication