量詞（二）：量詞的順序（Order of Quantifiers）

量詞（二）：量詞的順序（Order of Quantifiers）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯

連結： 量詞（一）：量詞與其否定

摘要：本文討論量詞的交換問題。

前一篇的命題中，除了「自然數無窮多」的命題外，量詞都只有一個。當量詞超過一個，它們的順序可不可以交換，就變成基本的問題。由底下的例子

$$\forall x\cdot\forall{y}\cdot x^2+y^2\ge 0$$ 和 $$\forall y\cdot\forall{x}\cdot x^2+y^2\ge 0$$，$$x,y$$ 是實數。

或者

$$\exists x\cdot\exists{y}\cdot x^2+y^2=0$$ 和 $$\exists{y}\cdot\exists{x}\cdot x^2+y^2=0$$，$$x,y$$ 是實數。

你可以明顯感覺到，相同量詞順序其實可以交換。

比較有趣的是不同量詞的順序。底下用例子來說明：

例3：讓我們簡單暫時假設校花就是所有男學生都喜歡的女生。請問下列那個敘述可以表示出校花的意義。其中我們假設 $$x$$ 是男生、$$y$$ 是女生、而 $$L(x,y)$$ 表示「$$x$$ 喜歡 $$y$$」。

你可以明顯感覺到，相同量詞順序其實可以交換。比較有趣的是不同量詞的順序。底下用例子來說明：

1. $$\forall x\cdot \exists y\cdot L(x,y)$$   每個男生都有喜歡的女生
2. $$\forall y\cdot \exists x\cdot L(x,y)$$   每個女生都有男生喜歡她
3. $$\exists x\cdot \forall y\cdot L(x,y)$$   有個男生每個女生他都愛
4. $$\exists y\cdot \forall x\cdot L(x,y)$$   有個女生每個男生都喜歡

沒想到簡單的排列組合，調動各種順序與量詞安排，結果竟然得到完全不同的四種意思，而其中只有第四種是正確的。其中，第一句和第四句的差別，只在於前面兩個量詞的順序調換，但意思卻南轅北轍，這表示量詞不同時，不能隨意交換順序。

當你在「翻譯」這些語句時，記得你要由左往右讀，去體會該句的意義。學生最常犯的錯誤，是擅自在心裡將順序調換過來。

練習1：假設 $$x$$ 是人，$$y$$ 是女人，$$B(a,b)$$ 表示 $$a$$ 生下 $$b$$。先將底下的敘述翻譯成口語，再看看那個敘述是「母親」的意思。

1. $$\forall x\cdot \exists y\cdot B(y,x)$$
2. $$\forall y\cdot \exists x\cdot B(y,x)$$
3. $$\exists x\cdot \forall y\cdot B(y,x)$$
4. $$\exists y\cdot \forall x\cdot B(y,x)$$

練習2：假設 $$m$$ 和$$n$$ 都是自然數，下面四個敘述是什麼意思，並判斷其對錯。

1. $$\exists m\cdot \forall n\cdot n\le m$$
2. $$\forall{n}\cdot \exists{m}\cdot n\le m$$
3. $$\exists n\cdot \forall m\cdot n\le m$$
4. $$\forall{m}\cdot \exists{n}\cdot n\le m$$

現在讓我們回到自然數無窮多的例子（就是練習2的1.）：

～$$(\exists N$$‧$$\forall n$$‧$$n\leq N)$$
（並非「有一個自然數 $$N$$，它大於或等於所有自然數。」）。

由於我們已經學過否定的規則，現在我們來看看結果是什麼：

～$$(\exists N$$‧$$\forall n$$‧$$n\leq N)\equiv\forall{N}\cdot$$～$$(\forall{n}\cdot n\le N)\equiv\forall N\cdot\exists n\cdot n>N$$

也就是「對所有 $$N$$，總是有一個 $$n$$ 會大於 $$N$$」，想想看這是不是正是「自然數有無窮多」的意思。

練習3：將例3、練習1、練習2的各敘述都加以否定，看看和你心目中的否定是不是一樣。做練習2的否定時，順便比較一下兩敘述之間的對錯關係。

一個朋友多年前在研究數理邏輯，有一天他當時告訴我，昨天碰到一個有二十多個量詞的命題，我一聽差點暈倒，因為平常人碰到兩三個量詞就會開始頭昏。於是我問他說：「你真的能掌握它的意思嗎？」他說：「當然，有什麼問題。」從此我確信人的腦袋果然有很大的差異性。

參考文獻：

1. Wikipedia，Quantification，http://en.wikipedia.org/wiki/Quantification