量詞（一）：量詞與其否定（Negation of Quantifiers）

量詞（一）：量詞與其否定（Negation of Quantifiers）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯

摘要：介紹量詞的意思，並討論含量詞命題的否定。

一般人第一次聽到推理思考的例子，通常並不是命題演算中「若 $$P$$ 則 $$Q$$」的實質蘊涵，而是下面這類亞里士多德式的三段論法：

所有人都會死
柏拉圖是人
所以柏拉圖會死

這裡首先我們談論的是「人」這個類別，以及裡面張三李四王五等等的個別的人。再來以上這些敘述談到人的一個可能性質：人會死亡。當然一般的性質（例如「很會唱歌」、「身高高於180公分」、「住在台灣」等等），只是「有些」人才有的特質，不見得人人具備，但是上面的敘述強調這是一個「所有」人的具備的性質。

在這樣分析之下，這些敘述涉及三樣東西：一個做為整體的集合或類別；在這個類上所定義的性質（可以想成是一個函數）；以及兩個量詞（quantifier）：「所有」與「有些」。結合這三者，構成了上述這些敘述的「語言」要素。

如果假設我們談論的都是人，用 $$\forall x$$ 表示「所有人 $$x$$」，$$\exists x$$ 表示「存在人 $$x$$」（因此就是「有些人」的意思），再令 $$D(x)$$ 表示人 $$x$$ 會死。那麼上面的的規則，可以簡單寫成：

$$(\forall x\cdot D(x))\Rightarrow D$$(柏拉圖)

但是如果擴張討論的範圍如生物，那麼這時「$$x$$ 是人」本身變成了一種性質，假設用 $$M(x)$$ 表示「$$x$$ 是人」的性質。則上面的推理規則可以更清楚寫成

$$((\forall x\cdot(M(x)\Rightarrow D(x)))\wedge M$$(柏拉圖)$$)\Rightarrow D$$(柏拉圖)

習題1：續前約定，將下面敘述翻譯成日常語句。

$$\exists x \cdot D(x)\wedge($$～$$M(x))$$

習題2：將下面敘述翻譯成日常語句並判斷其真假。其中 $$A(x)$$ 表示「$$x$$ 是美國人」，$$T(x)$$「$$x$$ 住在台灣」。

1. $$\exists x\cdot(T(x)\wedge A(x))$$
2. $$\exists x\cdot($$～$$T(x))\wedge ($$～$$A(x))$$
3. $$\forall{x}\cdot A(x)\vee ($$～$$T(x))$$
4. $$\forall{x}\cdot A(x)\wedge ($$～$$T(x))$$

如果使用的命題運用到類別的概念時，就會出現上述的「述詞演算」，述詞大致上可以看成跟類別等價（$$M$$ 是人所成的類，$$D$$ 是會死之物所成的類），而在討論類別的脈絡，自然會出現新邏輯符號 $$\forall$$ 與 $$\exists$$ 這兩種量詞。這是述詞演算（又稱一階邏輯）和命題演算最大的差別。

20世紀數學史的一個重要運動，是將數學用集合論的語言重新敘述。而集合就是類別，因此如果想要嚴謹的學習數學，除了命題邏輯的基礎，下一步就是納入述詞演算的思考，這當中包括如何將常用的連接詞（「非」「且」「或」「則」）和集合運算（餘集、交集、聯集、包含關係）做連結，以及學習量詞在這些運算中的規則。

例如我們自然數的「數目」有無窮多個，如果嚴格寫起來就是 ～$$(\exists N$$‧$$\forall n$$‧$$n\leq N)$$（並非「有一個自然數 $$N$$，它大於或等於所有自然數。」）其中假設我們討論的數都是自然數。

當然高中學生還沒有學習嚴謹的證明，因此似乎沒有學習量詞規則的必要，但是我們也注意到，學生進大學讀微積分時，經常受困於量詞的使用，其中包括量詞的否定與量詞的順序是否可交換的問題，因此在這邊做一點介紹，供學生參考。

例1：「所有人喜歡周杰倫」是一個帶著量詞的命題，它的否定是什麼呢？是「所有人不喜歡周杰倫」還是「有些人不喜歡周杰倫」呢？

仔細想想，就會發現「所有人不喜歡周杰倫」的敘述太強了，因為只要有一個人不喜歡周杰倫，就已經足以否定「所有人喜歡周杰倫」的敘述。因此這個命題的否定，可以包括一個人、兩個人到所有人不喜歡周杰倫的所有情況，因為「有些人」的意思就是一個人或兩個人或三個人…（包括所有人）的情況，因此合理的否定敘述是「有些人不喜歡周杰倫」。

另一種由給定答案思考的走捷徑想法是，因為否定「所有人喜歡周杰倫」，就表示「所有人喜歡周杰倫」是錯的，所以它的否定命題一定是對的。但是兩個答案中，「所有人不喜歡周杰倫」顯然是錯的，而「有些人不喜歡周杰倫」顯然是對的，因此答案是「有些人不喜歡周杰倫」。

例2：「班上有些同學參加數學補習」也是帶著量詞的命題。它的否定是什麼呢？是「班上所有人都沒參加補習」還是「班上有些人沒參加數學補習」呢？

許多學生會誤以為是後者。但想想看「班上有些同學參加數學補習」包括了幾乎所有的可能性，從某一個人參加、某兩個人參加，一直到全班都補習，這整體構成了「班上有些同學參加數學補習」這句話的內涵，因此它的反面（否定）就是唯一剩下不落在裡面的狀況，也就是「班上所有人都沒參加補習」。

結論：底下給出簡潔的否定規則：

～$$(\forall x\cdot P(x))\equiv \exists x\cdot$$～$$P(x)$$

～$$(\exists x\cdot P(x))\equiv \forall{x}\cdot$$～$$P(x)$$

習題3：寫出下列敘述的否定（想想原敘述是對是錯，再看看你的答案是對是錯）

1. 有些自然數可以被 $$3$$ 整除。
2. 所有自然數都是質數。
3. 有些實數的平方小於 $$0$$。
4. 所有三角形的內角和都是 $$180$$ 度。

連結：量詞（二）：量詞的順序

參考文獻：

1. Wikipedia，Quantification，http://en.wikipedia.org/wiki/Quantification