正弦函數與週期性（Sine Function and Periodicity）

正弦函數與週期性（Sine Function and Periodicity）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

摘要：本文舉例說明日常生活中隱藏的正弦函數。

高中數學很大部分的課程是在學習基本函數圖形：高一的多項式函數、指數函數、對數函數，高二以後的三角函數… 。

不同的基本函數有不同的特性，多項式是最簡單的函數，曾有一首打油詩描述多項式的特色：「加減乘除都好算，曲線優美不間斷，多項式，讚！」用數學語言更精確的說明，「曲線優美」就是微分連續，「不間斷」是指其為連續函數，不過此特性並非那麼獨特，指對數或三角函數也都是「曲線優美不間斷」，多項式更重要的特色是運算簡單，所以我們很喜歡用多項式逼近其他函數；指數函數的特色是同樣時間間隔內成長倍數相同」；那麼，三角函數的特性是什麼呢？

讓我們先看看正弦及餘弦的圖形：

用最自然的語言描述上面的圖形應該是：非常漂亮的波浪！正餘弦函數最大的特色是不斷重複起伏，換句話說是「週期性」。

三角函數在哪裡？

以下三個圖形皆與三角函數圖形有關，圖一為一輛行駛中的腳踏車，三角函數在哪裡？圖二為擺盪的手臂，三角函數在哪裡？圖三為2010 年3 月14 日Google 台灣的首頁圖案，因圓周率的近似值為 $$3.14…$$，故在 3 月 14 日畫了許多與圓周率有關的圖案，那麼，三角函數在哪裡？

仔細找找，就會在 Google 中間兩個 o 發現一個正弦波，即 $$y=\sin x$$ 其中一個週期，「圓」周率的日子竟與「三角」函數有所牽扯！

「圓」與「三角」的牽扯還不僅於此，若圖一的腳踏車輪子半徑為 $$1$$，假設有人騎車騎到一半不小心壓到了黃色的油漆，則往後當腳踏車行進時，輪胎上的黃色記號也會跟著轉動。

若以過輪軸的水平線為基準，低於此水平的距離記為負向，則黃色記號離中心的垂直高度 $$h(t)$$ 會在正負一單位間擺盪。已知輪子周長為 $$2\pi$$，所以當輪子滾動 $$2\pi$$ 距離後，輪胎上的黃色記號也會剛好回到它開始的位置。如果我們令此記號初次與輪軸等高為 $$t=0$$，即 $$h(0)=0$$，那麼 $$h(t)$$ 在一個週期 $$(2\pi)$$ 後會回到 $$0$$，更確切的說，$$h(t)$$ 就是一個正弦函數。

想要欣賞此函數與輪子的動畫，可參考以下網址：http://people.hofstra.edu/Stefan_Waner/trig/trig1.html

擺盪的手臂若以肩膀為圓心，該如何描述手肘離地面的距離 $$d$$ 呢？假設手肘最多擺盪到與肩膀同高的位置，且肩膀離地面高度為 $$H$$，則

$$d(t)=H-\sin(t)$$，其中 $$0\le t\le \pi$$

在真實世界中的許多現象若「粗略」描述都有「週期性」，所謂「週期性」是指每隔固定時間就會重複固定現象的行為，如年復一年的春夏秋冬，而依循四季的人類活動也就常常表現出週期性了，想要粗略建立週期的模型，最常用的就是正弦及餘弦函數，看來我們還會在其他地方發現三角函數的蹤跡！

延伸閱讀：

1. 木棉，睡夢中，學三角，天下文化，2006年1月。