蒙提霍爾問題（一）決勝21點

蒙提霍爾問題 (Monty Hall problem)（一） 決勝21點
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

在 2008 年上映的美國電影《決勝21點》中，劇中主角班 (Ben Campbell)在非線性代數的課堂上與授課教授米奇(Mickey Rosa) 有一段精彩的對話：

米奇：「假設你正參加一個遊戲節目，你有機會從三扇不同的門裡選一扇，其中一扇門後面有一輛新車，另外兩扇門後面各有一頭山羊？你要選擇哪一扇門？」

班：  「一號門。」

米奇：「好！這時節目主持人，順便一提，他知道門後的秘密，他去打開另一扇門，比方說他開了三號門，後面是一頭山羊。這時節目主持人說：「班，你想要堅持選擇一號門，還是換成二號門？」現在問題是–改變選擇(換另一扇門)是否對你有利?」

班：  「是的」

米奇：「記住！主持人知道那輛車在哪裡，你怎麼知道他不是在耍你？……」

班：  「我並不介意，因為我的答案是基於統計學，……，當一開始他讓我選一扇門時，我有 \(33.3\%\) 的機率是選對的，但當他開其中一扇門時，然後又讓我選時，此刻如果我選擇換一扇門，選對的機率是 \(66.7\%\)，……。」

上述的內容中有二項條件必須注意，參賽者三扇門中選一扇門，但他不知道門後面是新車還是山羊，可是主持人知道。再者，主持人開啟剩下兩扇門中的其中一扇門，一定挑有山羊的門，並且提供參賽者換門的機會。

這個題目稱為「蒙提霍爾問題」( Monty Hall problem)，其名稱源自美國益智電視節目「我們成交吧」( Let’s Make a Deal )中的主持人蒙提‧霍爾( Monty Hall )，而三門問題正是節目中的一個遊戲。

當三門只剩下兩道門，選項變成二選一時，有的參賽者直覺上認為新車在兩道門後的機會均等，贏得新車的機率是，不論換或不換都沒有差，所以堅持原來的選擇，打死不換。

究竟換比較有利？還是換不換都沒差？我們運用樹狀圖分析：

由貝氏定理得知：

如果在不換門的情形下，贏得新車的機率是 \(\displaystyle \frac{1/6}{1/6+1/3}=\frac{1}{3}\approx 33.3\%\)；

如果在換門的情形下，贏得新車的機率是 \(\displaystyle \frac{1/3}{1/6+1/3}=\frac{2}{3}\approx 66.7\%\)。

班的答案完全正確，但是直覺上機率 \(1/2\) 是怎麼回事？

\(\displaystyle = \frac{1}{3}\times\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)

我們不可忽略的是，當主持人提供資訊並給予換門的機會時，

新車在剩下兩道門後的機率其實是不相同的，分別為 \(1/3\) 和 \(2/3\)，

即 \(P(\) 贏得新車|選擇不換 \()=\displaystyle\frac{1}{3}\)、\(P(\) 贏得新車|選擇換門 \()=\displaystyle\frac{2}{3}\)，

要換才有優勢！

透過上述討論，換門確實是明智的選擇，但是機率值也顯示，不保證換門一定贏！畢竟，在還沒開出結果之前，所有的可能都是可能。

連結：蒙提霍爾問題（二）請問瑪麗蓮

參考資料

1. 曼羅迪諾著、胡守仁譯(2012)，《醉漢走路–機率如何左右你我的命運和機會》，台北：天下遠見出版社。
2. 《決勝21點》(2008)，哥倫比亞影業製作。