機率歷史

機率歷史 (The History of Probability)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

自古以來，對於不可預知的事情，人們總是充滿著好奇，並且在好奇心的驅使下，往往產生了一些或對或錯的法則。姑且不論其動機為何，這些法則卻可能因此開創另一領域或學科，機率論（theory of probability）的發展便是如此。

西方學者於 17 世紀開始對機率理論產生興趣，其理論背景最初只是為了處理如擲骰子、輪盤、撲克牌等遊戲的賭金分配問題。其中擲骰子早期流行於埃及、印度及東方民族，希臘人把擲骰子遊戲的發明，歸功於特洛伊城被圍困時的帕拉墨得斯，當時的人們都十分熱衷此遊戲。古羅馬人也不干示弱，克勞狄皇帝還親自撰寫有關擲骰子的文章。而在《摩軻婆羅多》這部有 3000 年的印度敘事詩中，紀錄了一位狂熱的擲骰子賭徒的不幸，他在輸光了一切之後，竟然拿自己的生命做賭注，真是令人惋惜的一段歷史。

關於機率，一些教科書通常都以法國貴族默勒(Chevalier de Mere)請教巴斯卡(Blaise Pascal, 1601-1665)骰子擲點問題作為出發點。問題為：「擲一個骰子四次至少有一次出現點數 \(1\) 的機會，與擲一對骰子 \(24\) 次至少有雙 \(1\)(兩個骰子都出現點數 \(1\))的機會，何者較大？」

默勒認為是相同，理由如下：第一種擲法：每擲一次骰子，有 \(1/6\) 的機會出現點數 \(1\)，因此，擲四次骰子，有 \(4\times 1/6=2/3\)  的機會出現點數 \(1\)。第二種擲法：每擲一對骰子，有 \(1/36\) 的機會出現兩個骰子點數均為 \(1\)，因此，擲 \(24\) 次骰子，有 \(24\times 1/36=2/3\) 的機會出現兩個骰子點數均為 \(1\)。默勒的想法很明顯是錯誤的，他認為每擲 \(6\) 次骰子「必然」有一次出現一點，所以，才導致錯誤(這也是一般學生常犯的錯誤類型)。

從這裡我們可以看到，機率論發展之初並不是一帆風順的，而是先有了一些質樸但不一定正確的想像。現行教科書中的編排方式，會讓許多學生誤認為所有的數學知識，皆憑藉著一些聰穎的想法(idea)而非一些成功或失敗的累積過程。所以，我們應還原歷史的始末，給予學生更多的洞察力(insight)及想像力(imagination)。(註 1)

接下來，再介紹默勒的另一個問題：「兩人比賽各出資賭金 \(32\) 金幣，規定必須要贏三局才能贏得賭金(stakes)，但後來比賽因故終止，且勝局比為 \((1,0)\)，問此時如何分賭金？」此外，帕奇歐里(Luca Pacioli, 1446-1517)著有第一本數學史上包括機率問題的書籍，本書於 1494年在義大利威尼斯出版，書中有一題如下：「兩人比賽各出資賭金 \(32\) 金幣，規定必須贏三局才能贏得賭金，但後來比賽因故終止，且勝局比為 \((2,0)\)，問此時如何分賭金？」

機率論的建立 

莫勒請教巴斯卡骰子擲點問題是建立機率理論的觸媒，接下來巴斯卡則寫信請教費瑪(可惜信已遺失了)，費瑪緊接於 1654 年 7月 27日星期一回信，提出了解法。兩天後巴斯卡回復：「這個方法是非常可信賴的(reliable)並且是我第一次見過的。」巴斯卡宣稱發現了更短且更簡單(much shorter and simpler)的不同方法，最後，他在信結尾處更表現了感性及真誠的情誼，說道：「真理無論在巴黎或吐勒斯（法國西南部）皆相同。(Truth is same of Toulouse and at Paris)」

以下，讓我們一同來欣賞巴斯卡的傑作。首先，規定必須要贏三局才能贏得賭金，先考慮兩人勝局 \((2,1)\)，\((2,0)\)，\((1,0)\)。請注意：每人出賭金 \(32\) 金幣，這個數目是經過挑選，以便使答案產生最簡單的整數比。

第一種狀況 \((2,1)\)，是比較容易理解的。

如果繼續比賽，第一位再贏一局的話，他將贏得所有的金幣，即 \(64\) 個金幣：如果第二位贏一局的話，比局將為 \((2,2)\)，每個人均分所有的金幣，即 \(32\) 個金幣，因此結果分法為 \([64:0]\)，\([32:32]\)。所以第一位選手確定有 \(32\) 個金幣，而剩餘的均分即 \(16\)、\(16\)，所以，終止比賽的正確分法為 \([48:16]\)。(註 2)

第二種狀況 \((2,0)\)，剛好回答了先前帕奇歐里所提出的問題。

如果繼續比賽，第一位至少有 \(48\) 個金幣，外加 \(16\) 的一半即 \(8\)、\(8\)，所以，終止比賽的正確分法為 \([56:8]\) ，最簡單整數比為 \([7:1]\)，此為帕奇歐里問題的答案。

第三種狀況 \((1,0)\)，則是回答默勒所提的問題。

如果第一位再贏一局的話，比數將為 \((2,0)\)，第一位將取走 \(56\) 個金幣，如果第一位輸的話比數將為 \((1,1)\)，第一位將取走 \(32\) 個金幣，所以第一位將拿 \(32\) 個金幣，外加(\(56\) 減 \(32\))的一半即 \(12\)、\(12\)，終止比賽的正確分法為 \([44:20]\) ，最簡單的整數比為 \([11:5]\) 。

至於費瑪的解法，則是根據還有幾場需要比賽才能看出贏家(winner)。如果第一位需要再比 \(m\) 場才贏，而且第二位需要再比  \(n\) 場才贏，則需再經過 \(m+n-1\) 場才能宣佈贏家。例如：默勒問題中，勝局比為 \((1,0)\)，費瑪接下來的四場比賽可能結果列出如下：(\(a\) 代表第一位獲勝；\(b\) 代表第二位獲勝)，最後的 \(1\)、\(2\) 表示結果獲勝的選手。

所以，費瑪認為兩位應該分的比例為 \([11:5]\)，這個結果跟巴斯卡所得到結果相同。但是，一位巴黎的數學家羅貝瓦爾(Giles de Roberval，1602-1675)，卻持不同的看法，他認為有些比賽不需要列出四局，有些只需二、三局。而 \((a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\) 費瑪的解法，卻扯出二項式定理：\(a\)，\(b\) 視為兩項，四次展開式之係數分別為 \(1\)、\(4\)、\(6\)、\(4\)、\(1\)(註 3)，所以，分法為 \([1+4+6:4+1]=[11:5]\)。由於巴斯卡與費瑪鍥而不捨的精神，使機率理論有了完整的建立，並造就拉普拉斯成為機率論的集大成者。

1655 年，荷蘭數學家惠更斯(Christiaan Huygens, 1629-1695)走訪巴黎，透過羅貝瓦爾的介紹，而得以瞭解巴斯卡與費瑪作品的內容，並且於 1657 年寫有關機率方面的簡短論著《論賽局遊戲的計算(On the Calculations in Games of Chance)》，書中只有十四條論述(proposition)，而且留下五個練習題給讀者演練。後來，雅克．伯努力(Jacob Bernouli, 1654-1705)用這本論著來註解他自己的《猜度術(Ars Conjectandi)》(1713)，其中兩位實力不相當的選手比賽的相關問題，也是由伯努力所發展出來的。

拉普拉斯(Pierre de Laplace, 1749-1827)的《機率的分析理論(Analytic Theory of Probabilities)》則加廣且加深機率的數學理論，不只是賭博問題而已。在他之前，機率的理論只是簡單的賽局遊戲而已，而拉普拉斯將機率理論轉往其他數學分支(例如：錯誤分析與數理統計)甚至於運用到天文學上；此外，他利用人口的抽樣方法來估計法國的人口總數，如此一來，使得機率理論在數學中佔有一席之地，因此，經由以上幾位數學家的努力，機率論正式獲得建立。

總之，「機率」是個現代人常用的語言，但它的起源就宛如一場「美麗的相遇」，若不是巴斯卡、費瑪兩人具有追根究柢的精神，將機遇賽局遊戲(game of chance，如擲骰子、轉輪盤、撲克牌等)發揮到極致，進而研究許多有關機率理論，機率論的歷史就不會如此多彩多姿。看完此小品介紹機率史之後，是不是讓你對於機率論的起源有了較深刻的了解呢？

註 \(1:\) 骰子擲點問題發展與巴斯卡三角形、組合公式、二項式定理均有密不可分的關係。這些問題也出現在伊斯蘭民族中的遺產分配。見蘇意雯(2001)，〈遺產問題與阿拉伯數學史〉，《HPM通訊》第四卷第五期，頁 3-6。

註 \(2:\) 文章中用 \((a,b)\) 表示兩人比賽的局數，而 \([A:B]\) 代表比完賭金分配情形。

註 \(3:\) 可利用組合公式 \((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_k^na^kb^{n-k}=C_0^na^nb^0+C_1^na^{n-1}b+…+C_n^na^0b^n\) 展開，

或直接乘開 \(\begin{array}{ll}(a+b)^4&=(a+b)^2\cdot (a+b)^2\\&=(a^2+2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)\\&=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\end{array}\)

參考文獻

1. 李文林主編，《數學珍寶》，台北：九章出版社，2000年。
2. 梁宗巨，《數學歷史典故》，台北：九章出版社，1995年。
3. 戴久永，《隨機數學初階：淺介機率與統計》，台北：眾文圖書出版社，1977年。
4. Katz，Victor J.，A History of Mathematics，New York：Addison Wesley，1998.
5. Kiernan James F.，”Points on the path to probability”，Mathematics Teacher 94：3，2001.
6. Salsburg David著，葉偉文譯，《統計，改變了世界》（The lady tasting tea：How Statistics revolutionized science in the twentieth century），台北：天下遠見出版有限公司，2001年。