黃金比例Ⅱ(Golden RatioⅡ)

黃金比例Ⅱ(Golden RatioⅡ)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

連結：黃金比例Ⅰ

摘要:本文接續黃金比例Ⅰ，介紹黃金比例與斐波那契數列的關係、黃金比例與連分數的關係、黃金比例學習單，最後，略論黃金比例的意義與重要性。

黃金比例與斐波那契數列的關係

斐波那契數列(Fibonacci sequence, 簡稱費氏數列)最早出現在《計算之書》，如圖八所示，該書出版於西元 1202年，它是中世紀數學的代表書籍，書中的題目內容來自當時歐洲人的生活模式， 「斐波那契數列」則位於第十二章的第七部分(第474頁)。

圖七：《計算之書》封面圖。

斐波那契數列是假設一對新生兔子，經過兩個月後，開始生育一對兔子，其後每隔一個月生育一對兔子。今在年初有一對新兔子，繁殖到年末，問一共有幾對兔子？按月的兔子總對數為 \(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144\)，即年末有 \(144\) 對兔子。把上述數列繼續寫下去，得到的數列便稱為斐波那契數列。數列中每個數便是前兩個數之和，而數列的最初兩個數都是 \(1\)。

若設 \(F_0=1,F_1=1,F_2=2,F_3=3,\\ F_4=5,F_5=8,F_6=13,F_7=21,F_8=32,\cdots\)

則 \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\)

觀察 \(b_n=\displaystyle\frac{F_{n+1}}{F_n}:\)

\(b_0=\frac{F_{1}}{F_{0}}=\frac{1}{1}=1,b_1=\frac{F_{2}}{F_{1}}=\frac{2}{1}=2,b_2=\frac{F_{3}}{F_{2}}=\frac{3}{2}=1.5,\\ b_3=\frac{F_{4}}{F_{3}}=\frac{5}{3}=1.66…,b_4=\frac{F_{5}}{F_{4}}=\frac{8}{5}=1.6,b_5=\frac{F_{6}}{F_{5}}=\frac{13}{8}=1.625,\\ b_6=\frac{F_{7}}{F_{6}}=\frac{21}{13}=1.615…,b_7=\frac{F_{8}}{F_{7}}=\frac{34}{21}=1.619…\)

可以發現 \(b_n:1,2,1.5,1.66…,1.6,1.625,1.615…,1.619…,…\)

其奇數列遞增（increase）而偶數列遞減（decrease），因此，接著尋找 \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=?\)

解法：

因為 \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\)，同除以 \(F_{n+1}\) 得 \(\displaystyle\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}=\frac{F_{n+1}}{F_{n+1}}+\frac{F_{n}}{F_{n+1}}\)，

因為 \(b_n=\displaystyle\frac{F_{n+1}}{F_n}\)，即 \(\displaystyle b_{n+1}=1+\frac{1}{b_n}\)，

令 \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=x\)，所以，\(\lim\limits_{n\to\infty}b_{n+1}=1+\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}b_{n}}\)，

因此 \(x=1+\frac{1}{x}\)，同乘 \(x\) 後移項得 \(x^2-x-1=0\)，根據題意 \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=x>0\)，

得 \(x=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)，即黃金比例，也就是費氏數列當項數趨近於無窮大時，其後項除以前項的比值為黃金比例。

附記：上述解法中令 \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=x\)，若 \(x\) 不存在，則違反收斂數列（converge sequence）原則。

黃金比例與連分數的關係

在數學的表達中若 \(x=a_0+\displaystyle\frac{1}{a_1+\displaystyle\frac{1}{a_2+\displaystyle\frac{1}{a_3+\displaystyle\frac{1}{a_4+…}}}}\)，稱為連分數，

連分數常用於無理數的逼近，例如：\(\sqrt{2}=1.414…\) 可表達成連分數

\(\sqrt{2}=1+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+…}}}}\)

，其漸近分數為 \(\displaystyle\frac{1}{1},\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},…\)；

而圓周率的漸分數為 \(\pi=3+\displaystyle\frac{1}{7+\displaystyle\frac{1}{15+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{292+…}}}}\)

至於黃金比例的連分數，可根據上小節 \(b_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}\) 的定義，因為\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)，其中

\(\displaystyle b_0=\frac{F_1}{F_0}=\frac{1}{1}=1\)，\(\displaystyle b_1=\frac{F_2}{F_1}=\frac{2}{1}=2=1+\frac{1}{1}\)，
\(\displaystyle b_2=\frac{F_3}{F_2}=\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}=1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1}}\)，
\(\displaystyle b_3=\frac{F_4}{F_3}=\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}=1+\frac{1}{\displaystyle\frac{3}{2}}=1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1}}}\)
\(\begin{array}{ll} b_4&=\displaystyle\frac{F_5}{F_4}=\frac{8}{5}=1+\frac{3}{5}=1+\frac{1}{\displaystyle\frac{5}{3}}=1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{2}{3}}=1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{3}{2}}}\\&=\displaystyle 1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{2}}}=1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1}}}}\end{array}\)

\(\displaystyle b_5=\frac{F_6}{F_5}=\frac{13}{8}=1+\frac{5}{8}=1+\frac{1}{\displaystyle\frac{8}{5}}=1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1}}}}}\)

所以，黃金比例的連分數為 \(\displaystyle \phi=1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+…}}}}}\)

黃金比例學習單

1. 數學課本，長與寬的比值為______
2. 書桌，長與寬的比值為______
3. 找出你身邊最接近黃金比例的事物_______。_____: _____
4. 找出大自然中，最接近黃金比例的事物_______。_____: _____
5. 正五邊形 \(ABCDE\) 中，如下圖八所示，哪些邊長常存在黃金比例_______。

圖八：正五邊形 ABCDE 為金字塔圖。

總結

這篇文章主要希望學生能了解何為黃金比例的定義，進而如何尋找生活中的黃金比例與黃金比例在生活中的重要性，文章從歷史溯源、黃金比例與 \(36^\circ -72^\circ -72^\circ\) 等腰三角形的關係、黃金比例與黃金矩形的關係、黃金比例與等角螺線的關係、黃金比例與金字塔的關係、黃金比例與斐波那契數列的關係、黃金比例與連分數的關係、黃金比例學習單等面向出發，由於篇幅所限，省去其與音樂、藝術建築、立體幾何等連結，可見黃金比例的應用層面極廣，也難怪天文學家克卜勒(Johannes Kepler, 1571-1630)說： 「幾何擁有兩件至寶：一件是畢達哥拉斯定理；另一件是把線段做中末比分割。第一件足以和金媲美；第二件我們或可稱之為珍貴的珠寶。」

附記：實施黃金比例教學過程中，可搭配迪士尼公司出版的《歡樂 123－奇幻園地(Donald in Mathmagic Land)》(台北：影久有限公司代理權)，影片中介紹古希臘數學的神奇與奧秘，當然也包含五角星形的黃金比例圖形，對於學生的學習具有正面引導的功用。

參考文獻

1. 李維歐(Mario Livio)著、丘宏義譯，《黃金比例(The Golden Ratio)》，台北：遠流出版社4年。
2. 藍紀正、朱恩寬譯，梁宗巨、張毓新、徐伯謙校訂，《歐幾里得．幾何原本》，台北：九章出版社，1992年。
3. 蔡聰明， 《數學的發現趣談》，台北：三民書局，2000年。