機率論源於賭博嗎?

機率論源於賭博嗎?
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

「一門開始於研究賭博的科學，竟然成為人類知識中最重要的學科，這無疑是令人驚訝的事情。」 ── 拉普拉斯

歷史上，機率理論的起源之一為賭博問題，討論如何在骰子或紙牌遊戲中訂立公平的賭注。十六世紀義大利的醫師兼數學家卡丹諾 ( Gerolamo Cardano, 1501-1576 )在其著作《機遇賽局之書》( Book on Games of Chance ) 中寫到︰

卡丹諾

「我認為自己能勝任賭博的研究有兩個理由。首先考慮到它有用的特性，因為它是有用的，所以必須對它的用處做一種有系統的研究。即使一般人認為賭博是一種罪惡，但想到有這麼多人在賭博，它似乎就成了與生俱來的原罪。就算只為了這個理由，也應該好好研究，就像醫生討論那些無可救藥的疾病。第二，很多哲人都有一種習慣，為了解救深陷罪惡的人，自己深入其中去瞭解它。例如心理學家研究憤怒一樣。」

在卡丹諾之前關於骰子的討論，十三世紀詩歌〈維圖拉〉(De Vetula )中記述 $$3$$ 枚骰子可以擲出 $$56$$ 種結果的列表(參見表)。但是，$$56$$ 種是組合數而不是排列數，無法計算出遊戲勝率。卡丹諾在其著作中正確統計出 $$2$$ 枚或 $$3$$ 枚骰子能擲出的結果，例如：投擲 $$3$$ 枚骰子至少出現一個 $$1$$ 點的機會是 $$216$$ 次中的 $$91$$ 次。同時機會均等的概念開始被理解，他在著作中寫到：「當投擲一顆公正骰子時，我能夠打賭出現 $$1,3,5$$ 的次數會和出現 $$2,4,6$$時一樣多。」

當時義大利流傳一題骰子問題：

一對骰子允許擲多少次才能使得出現兩個 $$6$$ 點的機會達到 $$50\%$$？

卡丹諾的觀點是每 $$36$$ 次就有 $$1$$ 次機會擲出兩個 $$6$$ 點，所以平均起來每擲 $$36$$ 次這樣的結果就會出現一次。因此 $$18$$ 次的投擲中，出現兩個 $$6$$ 點的機會會達到 $$50\%$$；在處理一枚骰子的情形時，他又做了同樣的推論，$$3$$ 次投擲中出現 $$6$$ 點的機會會達到 $$50\%$$。然而，卡丹諾卻沒有意識到這是錯誤的推論。

十五、十六世紀除了骰子問題，賭金分配的問題也引起巴喬里 (Fra Luca Pacioli, 1445-1509)、塔達利亞 (N. Fontana Tartaglia, 1499-1557) 等不少數學家的討論。這些問題流傳到了十七世紀，賭徒梅雷 ( Chevalier de Méré, 1607-1684 ) 向法國數學家巴斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662）提出，題目如下：

—
第一題︰

把一顆骰子連擲四次，其中至少擲得一次六點即算勝了。這遊戲對擲骰者來說是有利的，因為四次中至少擲得一次的機會是略大於1/2。但換了是擲三次，情形卻相反，因為三次之中至少擲得一次六點的機會是小於1/2。現在把兩顆骰子一起擲若干次，其中至少擲得一次兩顆都是六點才算勝了，問至少要擲多少次才對擲骰者有利呢?

第二題：

甲乙兩人比賽各出資32枚金幣，規定必須要贏三局才能贏得賭金，但後來比賽因故終止，且勝局比為(1,0)，問此時應如何分配賭金？
—

這些問題引起巴斯卡的興趣，1654年巴斯卡寫信去問費馬(Pierre de Fermat, 1601~1665)，雙方書信往來展開熱烈討論，兩人各用不同的方法正確給出 $$11:5$$ 的賭金分配。

巴斯卡

關於第一題，巴斯卡在給費馬的信上寫到：

「那是關於一個數學上的難題，它困擾著梅雷先生。他是一位非常有才能的人，…，他告訴我他找出了數論上的一個錯誤，原因是這樣子，如果把一顆骰子連擲四次，出到一次六點的優勢是 $$671$$ 對 $$625$$。如果把兩顆骰子連擲二十四次，出到一次兩顆都是六點的機會卻不再是優勢了。然而，$$24$$ 比 $$36$$（指一次擲兩顆骰子可能出現的結果的數目）是等於 $$4$$ 比 $$6$$（指一次擲一顆骰子可能出現的結果的數目）。這點謬誤使他感到十分憤怒，甚至使他認為算術是相悖的理論！」

費馬

顯然梅雷知道一顆骰子連擲四次至少出現一次 $$6$$ 點是有勝算，而兩顆骰子連擲二十四次便不在有優勢。但是 $$24$$ 比 $$36$$ 等於 $$4$$ 比 $$6$$ 讓他感到困擾和不解，概念的迷思只好求助於巴斯卡來釐清。

透過數學歷史場景，我們看到巴斯卡的錯誤推論、「成比列」的誤用以及梅雷的謬誤質疑，在今日教學現場中，初學者也可能有同樣的困惑。其次，雖然機率理論的起源之一為賭博問題，但是從梅雷的憤怒、巴斯卡和費馬的書信討論，展現了對數學知識的探求，而不僅是賭博而已。最後，引用法國數學家蒙謨(P.R. de Montmort, 1678-1719) 的一段話：

「當我在寫作此書時，腦子裡想的是如何滿足數學家的好奇，卻不曾想到如何幫助賭徒贏錢。我認為那些浪費時間在賭博上的人，輸光了也是活該！」

參考文獻

1. 蘇意雯 (1993)，〈從賭博出發〉，科學月刊第24卷第11期，頁821 – 828。
2. 蕭文強、林建(1996)，《概率萬花筒》，新竹︰凡異出版社。
3. M. Kline著、張祖貴 譯(1995) ，《西方文化中的數學》，台北：九章出版社。
4. Sherman K. Stein著、葉偉文譯(2002)，《數學是啥玩意?》，台北：天下遠見出版。
5. Katz, V. (1993)，《 A History of Mathematics: An Introduction》，New York: Harper Collins College Publishers
6. 卡丹諾、巴斯卡、費馬的圖檔皆取自維基共享資源。