非慣性座標系 (Non-Inertial Reference Frame)

非慣性座標系 (Non-Inertial Reference Frame)
國立臺灣大學物理所黃一玄

若某一座標系相對於任一慣性座標系有加速度，則該座標系稱之為非慣性座標系。在非慣性座標系中，物理定律並非處在最簡單形式，特殊地，對於一個質量為 、受到外力為 $$F$$ 的質點來說，牛頓定律不再能單純地寫成 $$F=ma’$$ 的形式(其中 $$a’$$ 是非慣性座標系的觀察者所測到質點的加速度)。為了方便描述物體的運動，人們遂引入假想力的概念，令 F+F_假想力 =ma’  ，使牛頓定律的形式得以成立。

雖然我們永遠可以選擇只採用慣性座標系來描述物體的運動，然而這並不總是處理問題最合適的方式。例如我們如果想了解受壓力梯度影響下的大氣移動，則因為我們是跟著地球在自轉，為了能非常直接而方便地應用到日常生活中，我們會選擇將計算的結果以隨著地球自轉的這個非慣性座標系來表示。

在線性加速座標系中：

某一座標系 $$S’$$ 以定加速度 $$a_0$$ 相對於另一慣性座標系 $$S$$ 移動，對於一處在 $$S$$ 座標系下的觀測者而言，他觀測到物體受力與加速度的關係是：$$F=ma$$，而對於在 $$S’$$ 座標系下的觀測者而言，力與加速度的關係則是：$$F-ma_0=ma’$$。這裡對 $$S’$$ 觀測者而言，冒出來的 $$-ma_0$$ 就被詮釋為是假想力。

在旋轉座標系中：

如圖一所示，假設一物體放在圓盤上，而圓盤繞其中心以定角速度 $$\omega$$ 旋轉，圓盤上的物體距離圓盤中心的距離為 $$r$$，且物體與圓盤一起轉動(無滑動)。此時對在其旁邊的地面觀測者而言，物體有 $$\omega^2r$$ 的向心加速度，欲維持此運動就需要一個外力 $$F$$，此力則由圓盤對物體的摩擦力或固定器來提供。但對於跟隨圓盤一起旋轉的觀測者而言，圓盤與物體都沒有動，而物體明明受到朝內的力 $$F$$ 之作用卻仍維持不動，所以他就假設物體還受到某個看不見的力來將物體朝外推，這個神秘看不見的力，就是離心力(centrifugal force)。

圖一 (陳義裕繪)

假設現在從上面圓盤的中心，向外沿著某半徑方向高速射出一顆球，使球幾乎貼著圓盤表面低空飛過(圖二a及b)對在地面的紅色觀測者而言，球自離開中心點往外緣走，全程都是走直線$$(A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D)$$，可是當它往外緣走的時候，整個圓盤之外緣會不斷往前，因此球相對於和圓盤一起旋轉的藍色觀察者來說就落後了一步。故對於藍色觀察者來說，球的軌跡會偏移成一條弧線(偏移軌跡為 $$A’\rightarrow B’\rightarrow C’\rightarrow D’$$)。換言之，從圓盤上的非慣性座標系角度來看，球好像是受到某一假想力使其以一弧線偏移，而這個與其行徑方向垂直的力稱為科氏力(Coriolis force)。

圖二 a 球開始自中心射出 (陳義裕繪)

圖二 b 球抵達圓盤邊緣( 陳義裕繪)

一般而言，物體於慣性座標系與旋轉座標系下受力狀況之差異可用下式表示

$$ma’=F_{S’}$$ (物體在 $$S’$$ 中所受的力)

$$~~~~~~=F$$ (物體在 $$S$$ 中所受的真實力量 $$=ma$$)

$$~~~~~~~~~+{-ma_1}$$ ($$S’$$ 相對於 $$S$$ 的線加速度所產生的假想力)

$$~~~~~~~~~+\{-m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r})\}$$ (離心力) $$+\{-2m\vec{\omega}\times\vec{v}\}$$ (科氏力)

我們可以說牛頓定律在任何座標系下都成立，只要力被重新定義成包含假想力在內。而非慣性座標系也可定義成：需要加入假想力，使得牛頓物理定律成立的座標系。

參考資料:

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Non-inertial_reference_frame
2. Lawrence E. Goodman and William H. Warner, Dynamics, 3^rd ed, p358 Dover Publications (2001),
3. Peter Ryder, Classical Mechanics, Shaker Verlag GmbH, Germany (2007).