科氏力

Posted on 2013/10/20 in 物理, 轉動, 運動與力 with 沒有迴響 46,157 views

科氏力 (Coriolis force)
國立臺灣大學物理所黃一玄

在旋轉座標系(rotating reference frame)中，科氏力是使得物體偏移其運動方向的力，它使得在旋轉座標系上的觀察者，看到路徑呈弧線彎曲。如同離心力(centrifugal force)，科氏力是假想力的一種，但作用方向與離心力不同。離心力作用方向沿著圓周運動的半徑向外，科氏力是垂直於運動方向跟轉動軸方向(兩者外積之負方向)。

考慮在轉盤中心上跟著轉盤在轉動的人，她的手臂原來是向兩側垂直伸出的，之後手臂縮回身軀(或就如同芭蕾舞者的動作)，此時人的轉速會加快。注意到如果只看身軀的部分，則身體的質量並沒有改變，但轉速變快，這代表身體的角動量增大了，故身體一定受到一力矩使之加速。此力矩一定是由往身軀縮回的雙臂來提供，故雙臂在縮回的過程中必然受到某個力的作用，而且此力必與懸臂移動方向垂直。這個力正是科氏力。

考慮在做圓周運動的轉盤(如圖一(a))，其中有 $$A$$、$$B$$ 兩點距離圓心距離分別是 $$r_A$$ 跟 $$r_B$$，速度分別是 $$v_A$$ 跟 $$v_B$$。現在有一人從 $$A$$ 點向 $$B$$ 快速擲出一球，球速度為 $$v$$。這顆球一開始除有向外(圖中向右)方向的速度 $$v$$ 以外，還有受到旋轉盤給的向北的速度 $$v_A=r_A\omega$$，而此時轉盤在 $$B$$ 點的速度為$$v_B=r_B\omega$$。由於 $$r_B>r_A$$，因此 $$v_B>v_A$$，也就是當球從 $$A$$ 到 $$B$$ 的時候，球往北的速度會低於 $$B$$ 點往北的速度，因此當球到達圓盤外緣時，球會落在 $$B$$ 點之後。

圖一：在做圓周運動的轉盤。(a) 左；(b) 右 (作者提供)

圖二 (引自參考資料1)

今若球是自圓盤中心的 $$O$$ 點以高速射向邊緣，則對於旋轉座標系上的觀察者而言，她會看到球走圖一(b)受到偏移影響的橘色路徑，但對於在地面上的觀察者而言，球實際走的路線是圖一(b)的綠色直線路徑。

對於地面上的觀察者而言：$$r_B-r_A=vt$$

球行經的橫向距離：$$S_A=V_At$$，而 $$B$$ 點則行經 $$S_B=V_Bt$$

球落後 $$B$$ 點距離 $$S=S_B-S_A=(V_B-V_A)t=(r_B-r_A)\omega t=\omega vt^2$$

而這是由一恆定外力導致，因此 $$S=a_{coriolis}\cdot t^2/2=\omega vt^2$$，可得 $$a_{coriolis}=2\omega v$$

因此科氏力 $$F_c=2m\omega v$$

另一種看出科氏力存在的方法：

同樣考慮在轉盤上從 $$A$$ 到 $$B$$ 滾一顆球，角動量 $$L_mv_{tan}r=m\omega r^2$$ ($$v_{tan}=\omega r$$：距離圓心 $$r$$ 的切線速度)，由於球滾動在距離軸心遠近不同( $$r$$ 改變)，因此不同點的角動量不同。特別地，距離圓心近的角動量小，距離圓心遠的角動量大。因此當球從 $$A$$ 到 $$B$$ 時，必定受到某一力矩使得角動量改變，此一力矩：

$$\tau=F_c\cdot r=\mathrm{d}L/\mathrm{d}t$$ (力矩定義)

$$~~=\mathrm{d}(m\omega r^2)/\mathrm{d}t=m\omega \mathrm{d}(r^2)/\mathrm{d}t$$

$$~~=2m\omega r\cdot\mathrm{d}r/\mathrm{d}t=2m\omega r v$$

因此，$$F_c=\tau/r=2m\omega v$$

注意到科氏力與離心力不同，科氏力與距離軸心的距離無關，因此，只要物體對於轉盤上的觀察者而言有一個速度，則在整個旋轉座標系上(包含旋轉軸心 $$r=0$$ 處)通常都會感受到科氏力。

由於整個旋轉盤上都會感到科氏力，我們可以再把問題弄更有趣一點。假設在轉盤邊緣上有個以固定速率(constant speed)沿著圓周奔跑的人，此時她的速度 $$v$$，轉盤角速度。對於在旁邊地面的慣性座標系下的觀察者而言，他會看到她的速度 $$v_{ground}=v+r\omega$$。而由此他可算她的向心力

$$F_{centripetal}=-m(v+r\omega)^2/r=-mv^2/r-2m\omega v-m\omega^2r$$

對於在旋轉座標系內奔跑的人而言，第一項是她自己相對於轉動中心跑的所帶來的向心力，而第三項是轉盤給她的向心力，至於第二項就是科氏力。

一般而言，對於三維空間，科氏力可以寫成：$$F_c=-2m\omega \times v$$ ( $$\omega$$ 旋轉座標系角速度，物體相對於旋轉座標系的速度，物體質量)

從這可以看出當運動物體從圓心向外，座標系旋轉方向逆時針，物體所受科氏力向右(順時針)，而當座標系旋轉方向順時針，則物體所受科氏力向左(逆時針)，而科氏力總是與在旋轉座標內運動物體的速度垂直。

由於地球在旋轉，因此所有地球上的運動物體通常都會受到科氏力的作用，最明顯就是在氣象學與海洋學的效應。在北半球，由於所有物體都會受到科氏力影響向右偏移，因此風從高氣壓往低氣壓運動的時候，會造成高氣壓順時針旋轉，而低氣壓逆時針旋轉(如圖二)。南半球狀況反之。